【线段树】单点修改&区间求和&区间求最大值&区间求最小值

*对于线段树，怎么说呢，就是直接套板子就得了，关键一点就是，细心点不要把板子都写错了，接下来我给出几道线段树题解 *

一：不加修改的区间求最值

题目1：UPC Contest1461 - 数据结构 G题 数列区间最大值
传送门
问题描述：

输入一串数字，给你M个询问，每次询问就给你两个数字X,Y，要求你说出X到Y这段区间内的最大数。

输入：

第一行一个整数N表示数字的个数，接下来一行为N个数。第三行读入一个M，表示要询问的次数，接下来M行，每行都有两个整数X,Y。

输出：

输出共M行，每行输出一个数。

样例输入：

10 10
11526 31357 17903 1543 25771 6505 16607 4696 15243 18313
1 10
2 10
1 2
7 8
6 10
5 10
3 8
3 7
3 8
4 5

样例输出：

31357
31357
31357
16607
18313
25771
25771
25771
25771
25771

#include
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
/*struct chaxun{
    int L,R;
}a[1010110];*/
int tree[401011],arr[101010],ans;
void build_tree(int node,int start,int ends)
{
    if(start==ends)
    {
        tree[node]=arr[start];
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        build_tree(left_node,start,mid);
        build_tree(right_node,mid+1,ends);
        tree[node]=max(tree[left_node],tree[right_node]);
    }
}
void query(int node,int start,int ends,int L,int R)
{
    if(L<=start&&R>=ends)
    {
        ans=max(ans,tree[node]);//ans来记录最大值
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        if(L<=mid)
        {//查询区间又涉足到左子树的，就查询一下左儿子
            query(left_node,start,mid,L,R);
        }
        if(R>mid)
        {//只有区间又涉足到右侧的，就需要查询一下右儿子
            query(right_node,mid+1,ends,L,R);
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,i;
    cin>>n>>m;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>arr[i];
    }
    build_tree(1,1,n);
    /*for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i].L>>a[i].R;
    }*/
    while(m--)
    {
        int L,R;
        ans=-INF;
        scanf("%d%d",&L,&R);
        query(1,1,n,L,R);
        printf("%d\n",ans);
    }
    /*for(i=1;i<=m;i++)
    {
        ans=-INF;
        query(1,1,n,a[i].L,a[i].R);
        cout<
    return 0;
}

至于为什么把结构体注释掉，是因为加了结构体的话就多了一个for循环，交了一次T掉了，然后就改为现在的这个代码，然后过了

题目2：UPC Contest2244 C题：排队
传送门
问题描述：

每天,农夫John的N(1 <= N <= 50,000)头牛总是按同一序列排队.有一天,John决定让一些牛们玩一场飞盘比赛.他准备找一群在对列中位置连续的牛来进行比赛.但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大.
John准备了Q (1 <= Q <= 180,000)个可能的牛的选择和所有牛的身高 (1 <= 身高 <= 1,000,000). 他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别.
注意: 在最大数据上, 输入和输出将占用大部分运行时间.

输入：

第1行: N 和 Q.
第2…N+1行: 第i+1行是第i头牛的身高.
第N+2…N+Q+1行: 每行两个整数A和B(1 <= A <= B <= N), 表示从A到B的所有牛.

输出：

第1…Q行: 所有询问的回答 (最高和最低的牛的身高差), 每行一个.

样例输入：

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

样例输出：

6
3
0

这个题和上一个思路完全一样，多了一个就是，最大值和最小值都需要求，因此我建了两棵线段树，一个存储最大值，一个存储最小值，详见代码

#include
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int ans1,ans2;
int tree_max[200010],tree_min[200010],arr[50010];
void build_tree(int node,int start,int ends)
{
    if(start==ends)
    {
        tree_max[node]=arr[start];
        tree_min[node]=arr[start];
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        build_tree(left_node,start,mid);
        build_tree(right_node,mid+1,ends);
        tree_max[node]=max(tree_max[left_node],tree_max[right_node]);
        tree_min[node]=min(tree_min[left_node],tree_min[right_node]);
    }
}
void query(int node,int start,int ends,int L,int R)
{
    if(L<=start&&ends<=R)
    {
        ans1=max(ans1,tree_max[node]);
        ans2=min(ans2,tree_min[node]);
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        if(L<=mid){
            query(left_node,start,mid,L,R);
        }
        if(R>mid){
            query(right_node,mid+1,ends,L,R);
        }
    }
}
int main()
{
    int n,q,i;
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&arr[i]);
    }
    build_tree(1,1,n);
    while(q--)
    {
        int L,R;
        ans1=-INF;
        ans2=INF;
        scanf("%d%d",&L,&R);
        query(1,1,n,L,R);
        printf("%d\n",ans1-ans2);
    }
    return 0;
}

二：单点修改求区间求最值

题目3：VJ I Hate It
传送门
问题描述：

很多学校流行一种比较的习惯。老师们很喜欢询问，从某某到某某当中，分数最高的是多少。
这让很多学生很反感。
不管你喜不喜欢，现在需要你做的是，就是按照老师的要求，写一个程序，模拟老师的询问。当然，老师有时候需要更新某位同学的成绩。

Input

本题目包含多组测试，请处理到文件结束。
在每个测试的第一行，有两个正整数 N 和 M ( 0 学生ID编号分别从1编到N。
第二行包含N个整数，代表这N个学生的初始成绩，其中第i个数代表ID为i的学生的成绩。
接下来有M行。每一行有一个字符 C (只取’Q’或’U’) ，和两个正整数A，B。
当C为’Q’的时候，表示这是一条询问操作，它询问ID从A到B(包括A,B)的学生当中，成绩最高的是多少。
当C为’U’的时候，表示这是一条更新操作，要求把ID为A的学生的成绩更改为B。

Output

对于每一次询问操作，在一行里面输出最高成绩。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
Q 1 5
U 3 6
Q 3 4
Q 4 5
U 2 9
Q 1 5

Sample Output

5
6
5
9

Hint

Huge input,the C function scanf() will work better than cin

暂时还没过，一直超时，等A了后再来附上代码
来了，补上现已通过的代码
VJ评测记录：

#include
#pragma G++ optimize(2)
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int Maxn=200010;
int tree[4*Maxn],arr[Maxn],ans;
void build_tree(int node,int start,int ends)
{
    if(start==ends)
    {
        tree[node]=arr[start];
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        build_tree(left_node,start,mid);
        build_tree(right_node,mid+1,ends);
        tree[node]=max(tree[left_node],tree[right_node]);
    }
}
void update(int node,int start,int ends,int idx,int val)
{
    if(start==ends)
    {
        arr[idx]=val;
        tree[node]=arr[start];
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
		//update(left_node,start,mid,idx,val);
		//update(right_node,mid+1,ends,idx,val);
		//就这里，之前我把左右子树都给更改了一遍，其实更改一侧就完全ok
		
        if(idx<=mid)//之前代码一直超时的原因我想就是少加了这个判断吧 
        	update(left_node,start,mid,idx,val);
        else
        	update(right_node,mid+1,ends,idx,val);
        	
        tree[node]=max(tree[left_node],tree[right_node]);
    }
}
void query(int node,int start,int ends,int L,int R)
{
    if(L<=start&&R>=ends)
    {
        ans=max(ans,tree[node]);
    }
    else{
        int mid=(start+ends)/2;
        int left_node=2*node;
        int right_node=2*node+1;
        if(L<=mid){
            query(left_node,start,mid,L,R);
        }
        if(R>mid){
            query(right_node,mid+1,ends,L,R);
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,i;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&arr[i]);
        }
        build_tree(1,1,n);
		char type;
		int L,R;
		int idx,val;
        while(m--)
        {
            getchar();
            scanf("%c",&type);
            if(type=='Q')
            {
                ans=-INF;
                scanf("%d%d",&L,&R);
                query(1,1,n,L,R);
                printf("%d\n",ans);
            }
            else{
                scanf("%d%d",&idx,&val);
                update(1,1,n,idx,val);
            }
        }
    }
    return 0;
}

三：单点修改区间求和

题目4：敌兵布阵
传送门
问题描述：

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output

Case 1:
6
33
59

#include
#include
#include
#include
typedef long long ll;
const int max_len=1e6;
using namespace std;
int arr[50010],tree[max_len];
void build_tree(int node,int start,int ends)
{
	if(start==ends)
	{
		tree[node]=arr[start];
		return;
	}
	int mid=(start+ends)/2;
	int left_node=2*node+1;
	int right_node=2*node+2;
	
	build_tree(left_node,start,mid);
	build_tree(right_node,mid+1,ends);
	tree[node]=tree[left_node]+tree[right_node];
}
void updata(int node,int start,int ends,int idx,int val)
{
	if(start==ends)
	{
		tree[node]+=val;
		arr[idx]+=val;
		return;
	}
	int mid=(start+ends)/2;
	int left_node=2*node+1;
	int right_node=2*node+2;
	if(idx>=start&&idx<=mid)
	{
		updata(left_node,start,mid,idx,val);
	}
	else{
		updata(right_node,mid+1,ends,idx,val);
	}
	tree[node]=tree[left_node]+tree[right_node];
}
int query_sum(int node,int start,int ends,int L,int R)
{
	if(L>ends||R<start) return 0;
	else if(L<=start&&R>=ends) return tree[node];
	else if(start==ends) return tree[node];
	else{
		int mid=(start+ends)/2;
		int left_node=2*node+1;
		int right_node=2*node+2;
		int sum_left=query_sum(left_node,start,mid,L,R);
		int sum_right=query_sum(right_node,mid+1,ends,L,R);
		return sum_left+sum_right;
	}
}
int ans[max_len];
int main()
{
	int t,i,s,j,n;
	string str;
	cin>>t;
	for(j=1;j<=t;j++)
	{
		memset(arr,0,sizeof(arr));
		memset(tree,0,sizeof(tree));
		scanf("%d",&n);
		for(i=0;i<n;i++) cin>>arr[i];
		build_tree(0,0,n-1);
		s=0;
		while(1)
		{
			cin>>str;
			if(str=="End")
			{
				break;
			}
			else if(str=="Query")
			{
				int L,R;
				scanf("%d%d",&L,&R);
				int temp=query_sum(0,0,n-1,L-1,R-1);
				ans[s++]=temp;
			}
			else 
			{
				int idx,val;
				scanf("%d%d",&idx,&val);
				if(str=="Add")
					updata(0,0,n-1,idx-1,val);
				else if(str=="Sub")
					updata(0,0,n-1,idx-1,-val);
			}
		}
		printf("Case %d:\n",j);
		for(i=0;i<s;i++)
		{
			printf("%d\n",ans[i]);
		}
	}
	return 0;
}

代码确实有点长，但思路都一样，需要注意一点就是，开线段树的数组要大一些，据说是要比原数据的范围大四倍就可以了

四：区间修改，区间求最值

求最值的线段树暂时还没遇到题，等遇到了，再来更吧

五：区间修改，区间求和

关于区间修改，懒惰标记暂时还没学会，学会后再来更
题目5：A Simple Problem with Integers
传送门
题目描述：

老师给出了一个序列，想让你帮老师干活，你需要处理如下两种情况。 "C a b c"表示给[a, b]区间中的值全部增加c (-10000 ≤ c ≤ 10000)。“Q a b” 询问[a, b]区间中所有值的和。

Input

第一行包含两个整数N, Q。1 ≤ N,Q ≤ 100000.

第二行包含n个整数，表示初始的序列A (-1000000000 ≤ Ai ≤ 1000000000)。

接下来Q行询问，格式如题目描述。

Output

对于每一个Q开头的询问，你需要输出相应的答案，每个答案一行。

Sample Input

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4

Sample Output

4
55
9
15

这道题呢，自我感觉用树状数组解决的话会更容易一点，但是这里为了练习线段树的区间修改，我还是用线段树来做了
对于懒惰标记的学习，由于我也是刚了解那么一点点，只能保证这道题我写的代码是对的，通过VJ的测试，也得到了AC,但是我怕把大家带入误区，所以暂时就不讲解思路了，等学的差不多的时候，等回头想补的话再给补一下，现在此推荐两个博客
线段树的详解
常用算法模板，包含有线段树的


哇，看了波评测记录，好险，好险，正好卡过。。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=100010;
ll tree[4*MAXN],arr[MAXN],lazy[4*MAXN];
ll pushup(ll node)
{   ll left_node=2*node;
    ll right_node=2*node+1;
    tree[node]=tree[left_node]+tree[right_node];
}
void build_tree(ll node,ll start,ll ends)
{
        if(start==ends)
        {
            tree[node]=arr[start];
            return;
        }
        else{
            ll mid=(start+ends)/2;
            ll left_node=2*node;
            ll right_node=2*node+1;
            build_tree(left_node,start,mid);
            build_tree(right_node,mid+1,ends);
            pushup(node);
        }
}
void pushdown(ll node,ll k)
{
    if(lazy[node])
    {
        ll left_node=2*node;
        ll right_node=2*node+1;
        lazy[left_node]+=lazy[node];///更新左子树的lazy值
        lazy[right_node]+=lazy[node];///更新右子树的lazy值
        tree[left_node]+=lazy[node]*(k-(k>>1));///左子树的最值加上lazy值
        tree[right_node]+=lazy[node]*(k>>1);///右子树的最值加上lazy值
        lazy[node]=0;
    }
}
void update(ll node,ll start,ll ends,ll L,ll R,ll val)
{
    if(L<=start&&R>=ends)
    {
        lazy[node]+=val;
        tree[node]+=val*(ends-start+1);
    }
    else{
        pushdown(node,ends-start+1);
        ll mid=(start+ends)/2;
        ll left_node=2*node;
        ll right_node=2*node+1;
        if(L<=mid) update(left_node,start,mid,L,R,val);
        if(R>mid) update(right_node,mid+1,ends,L,R,val);
        pushup(node);
    }
}
ll query(ll node,ll start,ll ends,ll L,ll R)
{
    if(L<=start&&R>=ends)
    {
        return tree[node];
    }
    else{
        pushdown(node,ends-start+1);
        ll mid=(start+ends)/2;
        ll left_node=2*node;
        ll right_node=2*node+1;
        ll left_sum=0,right_sum=0;
        if(L<=mid)
        {
            left_sum=query(left_node,start,mid,L,R);
        }
        if(R>mid){
            right_sum=query(right_node,mid+1,ends,L,R);
        }
        return left_sum+right_sum;
    }
}
int main()
{
    ll n,q,i,L,R,val;
    scanf("%lld%lld",&n,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&arr[i]);
    }
    build_tree(1,1,n);
    while(q--)
    {
        char type;
        cin>>type;
        if(type=='Q')
        {
            scanf("%lld%lld",&L,&R);
            printf("%lld\n",query(1,1,n,L,R));
        }
        else if(type=='C')
        {
            scanf("%lld%lld%lld",&L,&R,&val);
            update(1,1,n,L,R,val);
        }
    }
    return 0;
}

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