《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（二）

前导

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《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（一）

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第三章：有穷状态自动机

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3.1|语言的识别

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3.2|有穷状态自动机

即时描述

• 设$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$为一个$FA$，$x$，$y\in {\Sigma }^{\ast }$，$\delta (q_0,x)=q$，$xqy$称为$M$的一个即时描述，表示$xy$是$M$正在处理的一个字符串，$x$引导$M$从$q_0$启动并到达状态$q$，$M$的读头当前正指向$y$的首字符
• 如果$xqay$是$M$的一个即时描述，且$\delta (q,a)=p$，则$xqay⊢xapy$

$set()$

• 设$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$为一个$FA$，对$\forall q\in Q$，能引导$FA$从开始状态到达$q$的字符串的集合为$set(q)=\{x\mid x\in {\Sigma }^{\ast },\delta (q_0,x)=q\}$

例题

问题$1$

• 构造一个$DFA$，它接受的语言为$\{x\mid x\in \{0,1{\}}^{\ast },且当把x看成二进制数时,x模3与0同余\}$

解答

状态说明	状态	$0$	$1$
开始状态	$q_s$	$q_0$	$q_1$
终止状态（模$3$余$0$）	$q_0$	$q_0$	$q_1$
（模$3$余$1$）	$q_1$	$q_2$	$q_0$
（模$3$余$2$）	$q_2$	$q_1$	$q_2$

问题$2$

• 构造一个$DFA$，它接受的语言$L=\{x\mid x\in \{0,1{\}}^{\ast },且对x中任意一个长度不大于5的子串a_1{a}_2\cdots a_n,a_1+a_2+\cdots +a_n\le 3(n\le 5)\}$

解答

• $F=\{q[\epsilon ]\}\cup \{q[a_1{a}_2\cdots a_i]\mid a_1,a_2,\cdots ,a_i\in \{0,1\}且1\le i\le 5且a_1+a_2+\cdots +a_i\le 3\}$

• $Q=\{q_t\}\cup F$

$$\begin{gathered} \delta (q[\epsilon ],a_1)=q[a_1] \\ \delta (q[a_1],a_2)=q[a_1{a}_2] \\ \delta (q[a_1{a}_2],a_3)=q[a_1{a}_2{a}_3] \\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3],a)=\{\begin{array}{ll}q[a_1{a}_2{a}_{3}a],& a_1+a_2+a_3+a\le 3\\ q_t,& a_1+a_2+a_3+a>3\end{array} \\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3{a}_4],a)=\{\begin{array}{ll}q[a_1{a}_2{a}_3{a}_{4}a],& a_1+a_2+a_3+a_4+a\le 3\\ q_t,& a_1+a_2+a_3+a_4+a>3\end{array} \\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5],a)=\{\begin{array}{ll}q[a_2{a}_3{a}_4{a}_{5}a],& a_2+a_3+a_4+a_5+a\le 3\\ q_t,& a_2+a_3+a_4+a_5+a>3\end{array} \\ \delta (q_t,a)=q_t \end{gathered}$$

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3.3|不确定的有穷状态自动机

构造$NFA$的等价$DFA$

$NFA$

构造方式

• 先只把开始状态$[q_0]$填入表的状态列中
• 如果表中的状态列中有未处理的状态，则任选一个未处理的状态$[q_1,q_2,\cdots ,q_n]$，对$\Sigma$中的每个字符$a$，计算$\delta ([q_1,q_2,\cdots ,q_n],a)$，并将结果填入相应的表项中
• 如果$\delta ([q_1,q_2,\cdots ,q_n],a)$在表的状态列中未出现过，则同时将它填入表的状态列
• 如此重复下去，直到表的状态列中不存在未处理的状态

状态转移函数

状态说明	状态	$0$	$1$
开始状态	$[q_0]$	$[q_0,q_1]$	$[q_0,q_2]$
	$[q_0,q_1]$	$[q_0,q_1,q_3]$	$[q_0,q_2]$
	$[q_0,q_2]$	$[q_0,q_1]$	$[q_0,q_2,q_3]$
终止状态	$[q_0,q_1,q_3]$	$[q_0,q_1,q_3]$	$[q_0,q_2,q_3]$
终止状态	$[q_0,q_2,q_3]$	$[q_0,q_1,q_3]$	$[q_0,q_2,q_3]$

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3.4|带空移动的有穷状态自动机

带空移动的不确定有穷状态自动机$\epsilon -NFA$

• 对任意$q\in Q$

  • $\epsilon -CLOSURE(q)=\{p\mid 从q到p有一条标记为\epsilon 的路\}$

  • $\hat{\delta }(q,\epsilon )=\epsilon -CLOSURE(q)$

$\epsilon -NFA$与$NFA$等价

• 显然只需证明对于任给的$\epsilon -NFA$，存在与之等价的$NFA$
• 设$\epsilon -NFA{M}_1=(Q,\Sigma ,{\delta }_1,q_0,F)$

构造与$M_1$等价的$NFA{M}_2$

• 取$NFA{M}_2=(Q,\Sigma ,{\delta }_2,q_0,F_2)$
  • $F_2=\{\begin{array}{ll}F\cup \{q_0\},& 如果F\cap \epsilon -CLOSURE(q_0)\ne \varnothing \\ F,& 如果F\cap \epsilon -CLOSURE(q_0)=\varnothing \end{array}$
  • 对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$，使${\delta }_2(q,a)={\hat{\delta }}_1(q,a)$

证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+}$，有${\delta }_2(q_0,x)={\hat{\delta }}_1(q_0,x)$

• 施归纳于$|x|$
• 当$|x|=1$时，由${\delta }_2$的定义，结论成立
• 设当$|x|=n$时结论成立，下面证明当$|x|=n+1$时结论也成立

  • 设$x=wa$，$|w|=n$，$a\in \Sigma$

  • $\begin{array}{rl}{\delta }_2(q_0,x)& ={\delta }_2(q_0,wa)\\ & ={\delta }_2({\delta }_2(q_0,w),a)\\ & ={\delta }_2({\hat{\delta }}_1(q_0,w),a)\\ & =\bigcup _{q\in {\hat{\delta }}_1(q_0,w)}{\delta }_2(q,a)\\ & =\bigcup _{q\in {\hat{\delta }}_1(q_0,w)}{\hat{\delta }}_1(q,a)\\ & =\epsilon -CLOSURE(\bigcup _{q\in {\hat{\delta }}_1(q_0,w)}{\delta }_1(q,a))\\ & =\epsilon -CLOSURE(\{p\mid \exists q\in {\hat{\delta }}_1(q_0,w),使得p\in {\delta }_1(q,a)\})\\ & ={\hat{\delta }}_1(q_0,wa)\\ & ={\hat{\delta }}_1(q_0,x)\end{array}$

  • 结论对$|x|=n+1$也成立，由归纳法原理，结论对$\forall x\in {\Sigma }^{+}$成立

证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+},{\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing \iff {\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$

• 充分性
  • 设${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，${\delta }_2(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，而$F\subseteq F_2$，所以${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$
• 必要性
  • 设${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$，则有以下两种情况
    • 第一种情况：${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \{q_0\}$，此时，${\delta }_2(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，而${\hat{\delta }}_1(q_0,x)={\delta }_2(q_0,x)$，所以${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$
    • 第二种情况：${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2=\{q_0\}$，如果$q_0\in F$，则${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，事实上，此时不可能有$q_0\notin F$，如果$q_0\notin F$，则由于$q_0\in F_2$，所以$F\cap \epsilon -CLOSURE(q_0)\ne \varnothing$，即$\exists q_f\in \epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F$，但$q_f\ne q_0$，由于${\hat{\delta }}_1(q_0,x)={\delta }_2(q_0,x)$，所以，由$q_0\in {\hat{\delta }}_1(q_0,x)$可得$\epsilon -CLOSURE(q_0)\subseteq {\hat{\delta }}_1(q_0,x)$，$q_f\in {\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F$，而$F\subseteq F_2$，所以$q_f\in F_2$，从而$q_f\in {\delta }_2(q_0,x)\cap F_2$，由于$q_f\ne q_0$，这与${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2=\{q_0\}$矛盾
  • 综上所述，如果${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$，则必有${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$

证明：$\epsilon \in L(M_1)\iff \epsilon \in L(M_2)$

• 必要性
  • 设$\epsilon \in L(M_1)$，则$\exists q_f\in \epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F$，由$F_2$的定义，$q_0\in F_2$，所以${\delta }_2(q_0,\epsilon )=q_0\in F_2$，表明$\epsilon \in L(M_2)$
• 充分性
  • 设$\epsilon \in L(M_2)$，从而有${\delta }_2(q_0,\epsilon )=q_0\in F_2$，只能有以下两种情况
    • 第一种情况：$q_0\in F$，此时$\epsilon \in L(M_1)$
    • 第二种情况：$q_0\notin F$，此时必有$\epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F\ne \varnothing$，即${\hat{\delta }}_1(q_0,\epsilon )\cap F\ne \varnothing$，所以$\epsilon \in L(M_1)$
• 故$\epsilon \in L(M_1)\iff \epsilon \in L(M_2)$

例题

问题

• 构造与图示$\epsilon -NFA$等价的$NFA$

解答

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3.5|FA是正则语言的识别器

$FA$接受的语言是正则语言

• 设$DFAM=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$

构造正则文法$G$，使得$L(G)=L(M)-\{\epsilon \}$

• 取$G=(Q,\Sigma ,P,q_0)$，其中$P=\{q\to ap\mid \delta (q,a)=p\}\cup \{q\to a\mid \delta (q,a)=p\in F\}$

证明：$L(G)=L(M)-\{\epsilon \}$

• 对于$a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{+}$，$\begin{array}{rl}{q}_0\stackrel{+}{}{a}_1{a}_2\cdots a_n& \iff q_0\to a_1{q}_1,q_1\to a_2{q}_2,\cdots ,q_{n-1}\to a_n\in P\\ & \iff \delta (q_0,a_1)=q_1,\delta (q_1,a_2)=q_2,\cdots ,\delta (q_{n-1},a_n)=q_n\in F\\ & \iff \delta (q_0,a_1{a}_2\cdots a_n)=q_n\in F\end{array}$
• 所以$a_1{a}_2\cdots a_n\in L(G)\iff a_1{a}_2\cdots a_n\in L(M)$

关于$\epsilon$句子

• 如果$q_0\notin F$，则$\epsilon \notin L(M)$，$L(G)=L(M)=L(M)-\epsilon$
• 如果$q_0\in F$，存在正则文法$G^{{}^{\prime }}$，使得$L(G^{{}^{\prime }})=L(G)\cup \{\epsilon \}=L(M)$

正则语言可以由$FA$接受

• 由于正则语言被定义为是由正则文法产生的语言，所以只需证明，对于任给的正则文法，存在一个与之等价的$FA$
• 设有正则文法$G=(V,T,P,S)$，假设$G$是右线性文法，且$\epsilon \notin L(G)$

构造等价的$FA$

• 对应于正则文法$G=(V,T,P,S)$，取$FAM=(V\cup \{Z\},T,\delta ,S,\{Z\})$，其中对$\forall (A,a)\in V\times T$，$\delta (A,a)=\{\begin{array}{ll}\{B\mid A\to aB\in P\}\cup \{Z\},& 如果A\to a\in P\\ \{B\mid A\to aB\in P\},& 如果A\to a\notin P\end{array}$

证明$L(M)=L(G)$

• 对于$a_1{a}_2\cdots a_n\in T^{+}$，$\begin{array}{rl}{a}_1{a}_2\cdots a_n\in T^{+}& \iff S\stackrel{+}{}{a}_1{a}_2\cdots a_n\\ & \iff S\Rightarrow a_1{A}_1\Rightarrow a_1{a}_2{A}_2\Rightarrow \cdots \Rightarrow a_1{a}_2\cdots a_n\\ & \iff S\to a_1{A}_1,A_1\to a_2{A}_2,\cdots ,A_{n-1}\to a_n\in P\\ & \iff A_1\in \delta (S,a_1),A_2\in \delta (A_1,a_2),\cdots ,Z\in \delta (A_{n-1},a_n)\\ & \iff Z\in \delta (S,a_1{a}_2\cdots a_n)\iff a_1{a}_2\cdots a_n\in L(M)\end{array}$
• 即对于$\forall x\in T^{+}$，$x\in L(G)\iff x\in L(M)$

关于$\epsilon \in L(G)$

• 不妨假设$S$不出现在$G$的任何产生式的右部，设$G$中只有唯一的一个空产生式$S\to \epsilon$
• 只需将状态$S$取为$M$的第二个终止状态
• 按此方法构造出的$FAM$与所给的正则文法$G$是等价的

$FA$与左线性文法

根据左线性文法构造等价的$FA$

• 引入一个开始状态$Z$，形如$A\to a$的产生式，$A\in \delta (Z,a)$
• 形如$A\to Ba$的产生式，$\delta (B,a)=A$
• $G$的开始符号对应的状态是相应$FA$的终止状态

构造$DFA$等价的左线性文法

• 对$DFA$做处理
  • 删除$DFA$的陷阱状态（包括与之相关的弧）
  • 在图中加一个识别状态$z$，“复制”一条原来到达终止状态的弧，使它从原来的起点出发，到达新添加的识别状态
  • 如果开始状态也是终止状态，则增加产生式$z\to \epsilon$
• 构造规则
  • 如果$\delta (A,a)=B$，则有产生式$B\to Aa$
  • 如果$\delta (A,a)=B$，且$A$是开始状态，则有产生式$B\to a$

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3.6|FA的一些变形

双向有穷状态自动机

确定的双向有穷状态自动机$2DFA$

• $M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$
• $\delta :Q\times \Sigma \to Q\times \{L,R,S\}$，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$
  • 如果$\delta (q,a)=(p,L)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，并将读头向左移动一个带方格而指向输入字符串中的前一个字符
  • 如果$\delta (q,a)=(p,R)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，并将读头向右移动一个带方格而指向输入字符串中的下一个字符
  • 如果$\delta (q,a)=(p,S)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，读头保持在原位不动

不确定的双向有穷状态自动机$2NFA$

• $M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$
• $\delta :Q\times \Sigma \to 2^{Q\times \{L,R,S\}}$，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$，$\delta (q,a)=\{(p_1,D_1),(p_2,D_2),\cdots ,(p_m,D_m)\}$表示$M$在状态$q$读入字符$a$，可以选择地将状态变成$p_m$，同时按$D_m\in \{L,R,S\}$实现对读头的移动

带输出的$FA$

$Moore$机

• $M=(Q,\Sigma ,\Delta ,\delta ,\lambda ,q_0)$
  • $\Delta$——输出字母表
  • $\lambda$——$\lambda :Q\to \Delta$为输出函数，对$\forall q\in Q$，$\lambda (q)=a$表示$M$在状态$q$时输出$a$
• 对于$\forall a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{\ast }$，$M$的输出串为$\lambda (q_0)\lambda (\delta (q_0,a_1))\lambda (\delta (\delta (q_0,a_1),a_2))\cdots \lambda (\delta ((\cdots \delta (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots ),a_n))$，设$\delta (q_0,a_1)=q_1$，$\delta (q_1,a_2)=q_2$，$\cdots$，$\delta (q_{n-1},a_n)=q_n$，则$M$的输出可以表示成$\lambda (q_0)\lambda (q_1)\cdots \lambda (q_n)$，这是一个长度为$n+1$的串

$Mealy$机

• $M=(Q,\Sigma ,\Delta ,\delta ,\lambda ,q_0)$
  • $\lambda$——$\lambda :Q\times \Sigma \to \Delta$为输出函数，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$，$\lambda (q,a)=d$表示$M$在状态$q$读入字符$a$时输出$d$
• 对于$\forall a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{\ast }$，$M$的输出串为$\lambda (q_0,a_1)\lambda (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots \lambda (\delta (\cdots \delta (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots ),a_n)$，设$\delta (q_0,a_1)=q_1$，$\delta (q_1,a_2)=q_2$，$\cdots$，$\delta (q_{n-1},a_n)=q_n$，则$M$的输出可以表示成$\lambda (q_0,a_1)\lambda (q_1,a_2)\cdots \lambda (q_{n-1},a_n)$，这是一个长度为$n$的串

$Moore$机与$Mealy$机等价

• 设$Moore$机$M_1=(Q_1,\Sigma ,\Delta ,{\delta }_1,{\lambda }_1,q_{01})$，$Mealy$机$M_2=(Q_2,\Sigma ,\Delta ,{\delta }_2,{\lambda }_2,q_{02})$
• 对于$\forall x\in {\Sigma }^{\ast }$，当$T_1(x)={\lambda }_1(q_0)T_2(x)$成立时，称它们是等价的，其中$T_1(x)$和$T_2(x)$分别表示$M_1$和$M_2$关于$x$的输出

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