MIT线性代数笔记-第14讲-正交向量与空间

14.正交向量与空间

$x\cdot y$也可以记作$x^{T}y$或$y^{T}x$，因而$|x{|}^2$也可以记作$x^{T}x$

所以勾股定理——$|x{|}^2+|y{|}^2=|x+y{|}^2$也可以表示为

$\begin{array}{rl}{x}^{T}x+y^{T}y& =(x+y{)}^T(x+y)\\ & =(x^T+y^T)(x+y)\\ & =x^{T}x+y^{T}y+x^{T}y+y^{T}x\end{array}$

即$x^{T}y+y^{T}x=0$，即$x^{T}y=0$，与向量正交的矩阵表示一致

这就引入了内积的概念，两个向量$a,b$的内积为$a^{T}b$，推广到矩阵，两个矩阵$A,B$的内积为$A^{T}B$（当然这等于$B^{T}A$，而且只有当$A,B$行数一致时才可以求内积）

对于向量，正交即内积为$0$，推广到空间，考虑给两个空间各找一组基再以基中的向量作为列向量各得到一个矩阵，这两个矩阵的内积为$O$意味着这两个空间正交，这等价于二者中的任意两个元素都正交，因而两个垂直的平面并不正交

1. 任意向量空间均与$0$正交

2. 任意向量空间不会与其除$0$外的子空间正交

   证明： 二者存在除$0$外的相同向量，这些向量不会与自己正交

3. 零空间正交于同一矩阵的行空间，左零空间正交于同一矩阵的列空间

   证明： 设矩阵为$A$

   ​    零空间中的向量均为$Ax=0$的解，考虑$A$中每一行分别与$x$相乘，不难发现结果都是$0$，因而$A$的所有行向量都与零空间中的任意向量正交，而行空间中的向量均由$A$的行向量线性组合而来，因而行空间和零空间中任意两个向量正交，二者正交，左零空间和列空间类似

4. 正交补：与某个子空间在包含它的某个空间中正交的所有元素构成的集合称为该子空间在该空间中的正交补，如零空 间是同一矩阵的行空间在$R^n$中的正交补，$A$的正交补记作$A^{\perp }$

5. 正交基：某空间的元素两两正交的基称为该空间的正交基

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