空间中线线角的求法

立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】

类型一 空间中线线角的求法

方法一 用平移法求空间中的线线角

用平移法求空间中的线线角

使用情景：空间中线线角的求法
解题步骤：

第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中；
第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解；
第三步 得出结论.
【例】 在下图的正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B.

【解析】直线与直线平行，为正三角形，此时与所成角为，因此一名直线和所成的角为.

方法二 空间向量法求空间中的线线角

空间向量法求空间中的线线角

使用情景：空间中线线角的求法
解题步骤：

第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标；
第三步 再利用即可得出结论.
【例1】、如图，直三棱柱中，，，点在线段上.
（1）若是中点，证明：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行

（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.

【解析】

（I）证明：连结，交于，连结

因为直三棱柱，是AB中点，

所以侧面为矩形，

为的中位线，所以

因为平面，平面

所以平面

（II），平面，故如图建立空间直角坐标系

，，，，

，

令平面的法向量为，

由，得

设
所以, ，

设直线与平面所成角为.

.

故当时，直线与平面所成角的正弦值为.

【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

【例2】、如图，正方形的边长为，、分别为线段、的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱、分别交于点、．

（1）求证：；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小．

【分析】
（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得，从而有平面．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明.

（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.

【解析】

(1)证明：在正方形中，因为B是的中点，

所以

又因为平面

所以平面

因为平面，且平面平面，

所以.

（2）因为底面，所以，，如图建立空间直角坐标系

则，，，，，

设平面的法向量为

则，即，

令，则，所以．
设直线与平面所成角为，

则，

因此直线与平面所成角的大小为．

【总结】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.