问渠班一周工作简报（5.11-15）
五一长假前的一次主班教研，宏宏老师问我：数学要怎么上网课？
我们常常开玩笑说，华德福学校一二年级的数学是体育老师教的。数学课上我们会有大量的身体活动，去体会空间、模式和数，之前我们通过节奏律动和实物操作来构建乘法表，如果在课堂上，少不了要用心算练习和故事算术题来巩固和复习，检测孩子们的掌握程度，并根据课堂上的反馈一步步地搭建认知阶梯。
可是现在无法面对面上课，直接给练习题是机械操练，可能越练越机械；光是由老师来主导讲解，又容易变成灌输，而失去了更宝贵的由孩子来生成和发现的机会。
相对于孩子们掌握了哪些具体知识点，我觉得数学课更重要的是激发探究的兴趣，保持对数学这门学科的“鲜活”想象力和创造力，培养孩子们长远的学习热情和主动的学习习惯。
正巧去年暑假里我们为蒲公英童书馆翻译的一套数学图画书即将出版，我提前拿到了几本样书，就选取其中一个基本并且有趣的主题“对称”，来和孩子们一起探索发现。
对称的模式有几种？我们从小熟悉的一种分类是平移、轴对称和旋转对称。那么这几种对称图案相互之间是什么关系呢？有没有可能从一种对称中产生另一种对称呢？
说实话，以上的问题复杂度挺高，并不是我备课之初设想的。只不过，在课程进展过程中，随着孩子们的探究试验，对称的图景更加丰富，这些问题也清晰地浮现出来，让我自己也产生了很大的发现的乐趣。
一开始我只是想通过折纸和剪纸游戏，帮助孩子们来理解“对称轴”，并且能够以对称中心和对称轴为参照来作图。
“戳洞试验”
上周我们在学习“奇数和偶数”的时候，曾经玩过在折叠起来的纸张上戳洞的游戏。一些孩子非常认真地将纸张叠成不同的层数，在上面戳洞并记录打眼的数目，在列出的表格中，非常清晰地标明了戳洞的数目（顺带复习一下乘法表）。
这周我们研究对称性，还是从戳洞开始，把剪纸中连续的图形简化为一组离散的点，引导孩子去观察和精确定位打孔的位置，进一步熟悉“上下左右”的方位，以及“对折、翻转”等操作的含义。（以前在班上做戳洞试验的时候，我会用打孔器，比较方便，孩子们也对工具很感兴趣。这次打孔器都放在教室里没拿回来，我就用锥子和削尖的铅笔来戳洞，发现有额外的好处——每一个洞的形状都不是那么标准化，而是有轻微的特征，可以通过细心观察，进一步验证哪几个洞是同一次打出来的。）
有了打孔的探究经验，孩子们在折纸剪对称汉字的时候，简直是爆发的创造力！很多对称和接近对称的汉字，都被他们挖掘出来了。这时汉字的“正确与否”不是第一位的，而是孩子们会有意识地去观察汉字的对称结构，比较其中的相同与不同。
一个新概念的建构，要经历“正——反——合”的过程。“正”就是从课堂实例出发，引导孩子去模仿操作、观察结果，即从操作到图景。“反”则是从图景到操作，从想要的结果出发，倒推实现路径。“合”是对概念的综合应用。
“对折剪纸”
周一我们做的是最简单的对折剪纸，从简单的左右对称，到一族平行对称轴的“小人图案”，这个过程基本上是孩子可以自主操作的，还能灵活调整“参数”来得到高矮胖瘦拉手姿态各不相同的小人。
第一眼看到孩子们非常用心画的“双胞胎小人”时，我一时有点恍惚：这究竟是轴对称还是平移？从两个小人都在同一边的上衣口袋来看，这确凿无疑是平移产生的结果呀！可是我们做的不是轴对称的操作吗？再仔细一琢磨，这个图案上有双重轴对称，也就是说，两组相互平行的对称轴，经过两次反射（reflection）的复合，结果是平移（translation）。
这时当我再看孩子们的“小人剪纸”时，平移的模式清晰无误地展现出来。头脑中知道，和亲眼看到这两种对称之间的联系，那感受太不一般了！
接下来，自然要尝试相交的对称轴，通过两次反射变换，得到旋转（rotation）对称的图形。孩子们在剪窗花的时候，都体验过旋转对称，常见的有四瓣花和八瓣花、三瓣花和六瓣花的图案。不同于之前无意识的剪贴，我们在折纸样的时候，去关注中心点和对称轴（折痕），相应的位置关系，就可以自己设计出沿对角线往中心飞的燕子，或者从花心飞出来的蝴蝶等简单的对称图案。
我没有和二年级的孩子去解释平移、轴对称和旋转这些不同的对称以及相互的关系，希望能够更多地引导他们去操作，在操作中体会对称中心和对称轴在图形中的地位。等到高年级真正进入到几何和空间的抽象思考时，再提取之前的这些操作经验，是无比宝贵的财富。
除开折纸和剪纸，我们可以通过线画与镜子游戏、棋盘上的对称模式（跳棋、围棋、国际象棋），来进一步发展空间的感知，熟悉各种变换中的变与不变。
对称线画
镜像对称是二年级的线画主题，这个年龄的孩子，模仿的本能尚未消退，同时开始更有意识地去区分“你和我”，“同向和反向的”，左右大脑的偏侧化也在发育成熟中。我们在课上会做很多轴对称的线画练习，从垂直的左右对称，到水平的上下对称，再到四个象限的中心对称。
于是，配合剪纸小人，我让孩子们来画跑动的形和上下对称的线画。
一开始，我以为这模式孩子们并不陌生，我们在一年级讲《渔夫和金鱼的故事》，就曾经画过各种各样翻卷的海浪，后来还不止画过一次。当我从对称的眼光来看孩子们的线画时，才发现这个图并不简单。自己试一试，就能体会到要复制这个运动对称的另一半有多么不容易。
几何学家提醒我，这个海浪的“平移”运动，是两个180度的中心旋转对称复合产生的。单看上半部分海浪的时候，画得不那么对称似乎不影响整体感知。当我们试图画出对称的另一半时，就需要去研究更加精细的拐点和走向。看看这个孩子的作品：
从视觉感知的角度，我们会发现这个图案是个“双歧图”，你既可以把它看成往外的浪头，也可以看成往里卷的浪头，从图案上看是完全对称的（中心对称），只是我们的视觉习惯选择了一种，就抑制掉另外一种。这个孩子基本上捕捉到了海浪的中心对称模式，就无暇顾及上下对称的浪头大小和数目。
当我意识到海浪的对称图案，对于孩子们来说是个复杂的多重任务时，我们尝试了更简单的一些水平对称线画，孩子们能够完成得非常好。
这些图形展示了线画是各种原型的运动，孩子们能够很好地感知这样的运动，而不是在局部去“依葫芦画瓢”地雕琢和模仿线条。通过观察孩子的线画工作，我们能够获知这个孩子在空间感知和运动平衡方面的发展状况，对于将来进行抽象思考和几何的空间想象，也会有莫大的帮助。
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p.s. 这周的晨诵课程选择了“花婆婆“方素珍的三首儿童诗《不学写字有坏处》、《明天要远足》和《收获》，来体会故事诗中的重复和变化。以此为基础，孩子们创作了自己的故事诗。
5.11-花婆婆故事诗.pdf