0. 涉及内容

p.449 - p.451

这节课的视频内容比较复杂，书上却只非常简单的说了两页纸，用拉普拉斯变换分析了一下巴特沃斯滤波器。

视频课中，老师主要讲了巴特沃斯滤波器的拉普拉斯变换分析，更多的是讲了脉冲变换响应不变法和双线性法，分别利用这两个方法将连续时间巴特沃斯滤波器映射进离散时间，换句话说，如何根据连续时间巴特沃斯滤波器的spec设计离散时间巴特沃斯滤波器。

我呢。。菜鸟一个，书上没有我就不研究连续时间到离散时间的映射了，先解决主要矛盾，书上有啥我学啥。

1. 巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器是一类应用广泛的LTI系统，一个N阶巴特沃斯滤波器的频率响应的模的平方为，

而我们学习复变函数知道，一个复数的模的平方等于该复数乘以其共轭复数，即

如果这个巴特沃斯滤波器的单位冲激响应为实值函数，那么根据lec #9中学到的共轭对称性，有

那么有，

又因为，那么代入上式可得，

上式中，分母多项式的根就是的极点，这些极点位于，

公式还是挺复杂的，不过用直觉直接在s平面上画出的极点，

1. 一共有2N个极点，它们在角度上等间隔的位于一个半径为圆心为原点的圆上；
1. 极点永远不会出现在轴上；
1. 当N为奇数时，在轴上有极点；当N为偶数时，在轴上没有极点；
1. 相邻极点之间的角度是弧度

几个典型的零极点图如下所示，

现在就可以确定的极点了。上面图中是的极点，可以看到其极点是成对出现的，如果有一个极点在，那么就有一个极点在。因此为了构成的极点，在的每一对极点中选择一个就行。若限制系统是因果且稳定的，那么极点应该位于s平面的左半平面，因此的极点位置如下图所示，

B(s)的极点位置

有了极点，就可以写出巴特沃斯滤波器的转移函数（系统函数），

$\begin{align} &N = 1: &B(s) &= \frac{\omega _c}{s+\omega _c} \\ &N = 2: &B(s) &= \frac{\omega _c ^2}{(s+\omega _c e^{j(\pi /4)}) (s+\omega _c e^{-j(\pi /4)})} = \frac{\omega _c ^2}{s^2 + \sqrt{2} \omega _c s + \omega _c ^2} \\ &N = 3: &B(s) &= \frac{\omega _c ^3}{(s+\omega _c)(s+\omega _c e^{j(\pi /3)})(s+\omega _c e^{-j(\pi /3)})} = \frac{\omega _c ^3}{s^3 + 2 \omega _c s^2 + 2\omega _c ^2 s + \omega _c ^3} \end{align}$

我们看到上面三个式子中，好奇分子是怎么来的。其实是这样的，

这样就知道分子是怎么来的了。

现在我们有了拉普拉斯变换的代数式，就可以直接写出能表示巴特沃斯滤波器这一LTI系统的线性常系数微分方程了。

$\begin{align} &N = 1: &\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d} t} + \omega _c y(t) &= \omega _c x(t) \\ &N = 2: &\frac{\mathrm{d} ^2 y(t)}{\mathrm{d} t^2} + \sqrt{2} \omega _c \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d} t} + \omega _c ^2 y(t) &= \omega _c ^2 x(t) \\ &N = 3: &\frac{\mathrm{d} ^3 y(t)}{\mathrm{d} t^3} + 2 \omega _c \frac{\mathrm{d} ^2 y(t)}{\mathrm{d} t^2} + 2 \omega _c ^2 \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}+ \omega _c ^3 y(t) &= \omega _c ^3 x(t) \end{align}$

开刷：《信号与系统》 Lec #24 巴特沃斯滤波器

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1. 巴特沃斯滤波器

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