Dantzig-Wolfe分解

参考资料：Introduction to Linear Programming， Dimitris Bertsimas etc
这篇博客是个人笔记的电子版(●ˇ∀ˇ●)，希望之后的自己也能看懂吧
在这本教材的Dantzig-Wolfe分解章节中，作者主要列举了两个小例子，结合坐标图，解释这种分解算法的过程，非常推荐看原书的讲解。
大家小心，我要开始胡诌了……

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• 学习体会
  Dantzig-Wolfe分解主要是针对大型线性规划问题的一种精确算法。其思想是，对于一些有特殊结构（约束矩阵的一部分是由对角分块矩阵构成，另一部分是耦合约束（coupling constraints）,具体的样式可以参考下图的（6.10））的线性规划问题，将原大规模矩阵分解成 主问题+若干子问题求解。
  为了便于理解，可以把主问题视为一个中心，把子问题视为若干小部门，小部门向中心反馈信息（信息指的是，能够改进目标函数值的进基变量和对应的列），中心收到信息后会更新自己的信息库（目标函数、约束矩阵、基等）并求解，得到对偶信息；中心将这个对偶变量的值下发到小部门，以便于小部门更新他们的目标函数。
  其实质是列生成，但值得注意的是“如何引入列生成算法”：Dantzig-Wolfe分解算法用到了线性规划问题解的表示定理（线性规划问题可行域中的任一点可以表示成极点的凸组合+极射线的非负组合），从而将原问题（决策变量为x）转化为等价问题(决策变量为组合系数λ、θ)。如此一来，转化后的问题有更少的约束（更重要的是，转换后的约束有上述的特殊结构，这是我们希望看到的）、更多的变量（因为线性规划问题的极点、极射线是很多，在实际场景中很难全部找到，其实也没必要全部找到——这就启发我们使用列生成算法）。以原问题是最小化问题为例，简单说说子问题的构造：目标函数是主问题(Master)的非基变量的检验数（minimize its reduced cost），约束是上述特殊结构约束矩阵中的对应分块。子问题主要是想检查还有没有更好的变量可以进基，从而进一步减小主问题的目标函数值。（注：这里说的主问题，具体指的是限制性主问题（restricted master problem），二者的区别在于后者只有部分列，前者有全部列）。
  有意思的是，在计算过程中，这种算法给出的可行解可能并不是极点（而是极点的凸组合）；但最优解还是会落到极点上啦。
  另外，本章最后还给出了一个定理——关于该分解算法求得的最优值下界，证明过程特别巧妙！
• 小提示
  学这个算法之前，最好把单纯形法中的概念弄清楚，比如：reduced cost（检验数及其计算、如何选择进基变量）, dual variable, simplex multiplier, 最小比值原则选择出基变量、reduced cost与dual variable之间的关系等等。

例子6.2

例子6.3

如何启动这个算法

这个算法需要一个主问题的初始基可行解来启动。
如果没有，那么参照“两阶段法”的思路，引入辅助变量（人工变量），构造辅助主问题。
通过求解辅助问题，判断主问题是否可行，如果可行，找到初始基可行解。

• Dantzig-Wolfe分解算法优势在于：相比于直接在原问题上做revised simplex method，这种算法很节省计算内存。
  

关于解的下界，定理证明

写出主问题的对偶问题，
根据“z是主问题的可行解对应的目标函数值”，找到主问题的可行解对应的对偶变量值(q,r1,r2)；
虽然这个对偶变量值(q,r1,r2)能够使得“$q^T{b}_0+r_1+r_2=z$”成立，但是并不一定是 主问题的对偶问题 的可行解；
这里有一个很重要的点是，我们已经假设 子问题i的最优值zi是有限的，于是可以找到合适的r1,r2使得 这个对偶变量值(q,r1,r2) 对 主问题的对偶问题 可行。
然后，根据原问题与对偶问题之间的弱对偶定理，写出原问题最优解下界的不等式。