MIT_线性代数笔记：第 19 讲 行列式公式和代数余子式

我们已经认识到了行列式的性质，应该推导出其公式了。

行列式公式 Formula for the determinant

行列式有如下三个性质：

1. det( I )=1。
2. 如果交换行列式的两行，则行列式的数值会反号。
3. 行列式是“矩阵的行”的线性函数。
   从这三条性质可以推导出后续的七条性质，从这十个性质出发可以得到二阶方
   阵的行列式公式：
   
   通过性质 3 对 n 阶矩阵的行列式进行拆分，我们可以得到所有只包含 n 个非零元素的行列式，对于二阶行列式我们从 1 个拆分为 2 个，然后拆分成 4 个。而对于三阶矩阵我们从 1 个拆分成 3 个，然后拆分成 9 个，最后要拆分成 27 个。但最终这些行列式中有很大一部分等于 0。
   
   每一个拆分出来的非 0 行列式都是在每行每列都有且只有一个元素，就如同置换矩阵的元素分布。应用性质 3 可以将元素从行列式中提出来，而置换矩阵的行列式值为+1 或者-1，因此可以给出行列式的公式。n 阶拆分矩阵非 0 行列式的个数的计算方法就如同计算置换矩阵的个数一样，第一行放置一个非 0 元素的位置有 n 个选择，第二行为 n-1 个……。最后得到共 n！个矩阵。
   对于拆分得到的三阶矩阵，元素从上至下朝向右侧方向的，其行列式的数值为正，朝向左侧方向的则为负。但是这个规律只适用于三阶矩阵，不适用于高阶矩阵。
   
   其中列标号（α, β, γ……ω）是列标号（1, 2, 3……n）的某个排列。比如说对于单位阵而言，只有α=1，β=2……ω=n 所得到的行列式为+1，其它都为零，所以单位阵的行列式为 1。
   
   列标号取（4,3,2,1）得到第一个拆分行列式，符号为正，因为只要经过两次交换就能变为（1,2,3,4）。第二个为（3,2,1,4），因为只需交换一次就可变为正序，所以符号为负。因此本行列式为 0。

代数余子式 Cofactor formula

代数余子式是用较小的矩阵的行列式来写出 n 阶行列式的公式。

将原公式中属于矩阵第一行的 a1j提出来，其系数即为代数余子式，是一个低阶行列式的值。这个低阶行列式是由原矩阵去掉 a1j所在的行和列组成的。
对矩阵中任意元素 aij而言，其代数余子式 Cij就是矩阵的行列式的公式中 aij的系数。Cij等于原矩阵移除第 i 行和第 j 列后剩余元素组成的 n-1 阶矩阵的行列式数值乘以(-1)i+j。（Cij在 i+j 为偶数时为正，奇数时为负数。）

对于矩阵行列式的计算，消元的得到主元是一个很好的方法，与之相比行列式的展开公式较为复杂，而代数余子式的方法介于两者之间，它的核心想法是通过降阶来将原来的行列式展开成更简单的行列式。
举三对角阵（tridiagonal matrix）为例，它除了对角线和对角线两侧相邻的元素之外，其它元素均为 0。
例如由 1 组成的 4 阶三对角阵为

从矩阵的特殊结构我们可以得到：
∣ A n ∣ = ∣ A n − 1 ∣ − ∣ A n − 2 ∣ \begin{vmatrix} A_n \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} A_{n-1} \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} A_{n-2} \end{vmatrix} ​An​​ ​= ​An−1​​ ​− ​An−2​​ ​
由 1 组成的 n 阶三对角阵的行列式从 1 阶开始按照 1,0，-1，-1,0,1 进行循环。