初识动态规划——0 1背包问题

动态规划（简称DP）是一种将复杂问题分解成很多子问题，并将子问题的求解结果存储起来避免重复求解的一种算法。动态规划一般用来解决最优问题。而解决问题的过程，需要经历多个决策阶段。每个决策阶段都对应着一组状态。最后通过一组决策序列（动态转移方程），产生最终期望的最优解。（看不懂概念？）

我也是

简单说jiu's利用历史记录避免重复计算，用空间换时间，一般使用一维或二维数组保存。

解决动态规划步骤大致分五部（动规五部曲）

1.了解dp数组的含义

2.列出递推公式

3.dp数组初始化

4.遍历顺序

5.打印dp数组（用于检查是否有错误，一般省略）

下面根据例题熟悉解题步骤。

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入

输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入 

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 

3

 解题思路

按照动态规划5部曲。

第一步：首先要知道dp数组的含义，按照上面例题我们定义dp数组如:

dp[i][j]表示的就是在时间j的范围内取编号为0~i的药草的最大价值。（了解dp数组的含义方便我们理解代码，也是解决动态规划的重点）

第二步：根据题目推导出递推公式（解决问题的核心）,根据上面例题每株草药有3种情况，  1.时间不够不能取

2.时间够可以取但不取 3.时间够可以取

如果时间够dp[i][j]=max(dp[i-1][j-a[i] ]+b[i],dp[i-1][j])(a[i]表示取药草i所需要的时间,b[i]表示价值）

如果时间不够 dp[i][j]=dp[i-1][j]

第三步：dp数组初始化

首先为什么要初始化？很简单因为dp数组后面的是由前面的推导出来的如果一开始没有值，那后面结果很可能会出错，当然这要根据题目，在这一题初始化就是第0行和第0列，第0列表示用有时间为0那当然取得的草药价值为0了所以进行初始化，第0行表示没有草原，那取得的价值也为0了

第四步：遍历顺序

这题由于从前面推出后面遍历顺序那也是如此

第五步：打印dp数组

这一步大部分可以省略如果你代码出现结果错误，可以打印dp数组看看哪里错了

下面上代码：

#include
int max(int a, int b)//找出两者中较大值
{
	if (a >= b)
		return a;
	else
		return b;
}
int main()
{
	int t, m, s[200] = { 0 }, v[200] = { 0 }, i, j, dp[111][1011] = { 0 };
	//s数组储存采摘每株草药的时间，v表示每株草药的价值
	scanf("%d %d", &t, &m);//输入总时间t，草药的数量m
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%d %d", &s[i], &v[i]);
	}
	for (i = 1; i <= m; i++)//遍历每种草药
	{
		for (j = 1; j <= t; j++)//遍历每个时间
		{
			if (j >= s[i])//如果时间够
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - s[i]] + v[i]);//取时间够的情况下，摘与不摘取价值更大的
			else//时间不够的情况
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}
	}
	printf("%d", dp[m][t]);
	return 0;
}

总结

关于动态规划还有很多种题型，需要多学多练才能掌握，继续加油！