机器学习——主成分分析（PCA）

今天由我来向大家何为PCA算法及如何实现，PCA算法是无监督方法的典型，在此之前我们先来了解有监督学习、无监督学习以及半监督学习的区别。

一、有监督学习、无监督学习、半监督学习的区别 

1. 有监督学习
监督学习是从标记的训练数据来推断一个功能的机器学习任务。利用一组已知类别的样本调整分类器的参数，使其达到所要求性能的过程。在监督学习中训练数据既有特征(feature)又有标签(label)，通过训练， 让机器可以自己找到特征和标签之间的联系。
2.无监督学习
现实生活中常常会有这样的问题：缺乏足够的先验知识，因此难以人工标注类别或进行人工类别标注的成本太高。很自然地，我们希望计算机能代我们完成这些工作，或至少提供一些帮助。根据类别未知(没有被标记)的训练样本解决模式识别中的各种问题，称之为无监督学习。
3. 半监督学习
半监督学习(Semi-Supervised Learning， SSL)是模式识别和机器学习领域研究的重点问题， 是监督学习与无监督学习相结合的一种学习方法。半监督学习使用大量的未标记数据，以及同时使用标记数据， 来进行模式识别工作。当使用半监督学习时， 将会要求尽量少的人员来从事工作，同时，又能够带来比较高的准确性，因此，半监督学习正越来越受到人们的重视。 

二、PCA算法

2.1PCA算法简介 

PCA 是 Principal Component Analysis 的缩写，中文称为主成分分析法。它是一种维数约减（Dimensionality Reduction）算法，即把高维度数据在损失最小的情况下转换为低维度数据的算法。显然，PCA 可以用来对数据进行压缩，可以在可控的失真范围内提高运算速度，提高机器学习的效率，使较为复杂的数据简单化。

所谓损失最小就是从高维向低维映射的时候误差最小，低维空间的描述是向量组，k维空间就用k个向量来描述这个空间。

2.2PCA代数定义 

 

 

 

 

 

 

2.3PCA算法流程 

2.4PCA算法的优缺点

优点

• 降低数据的复杂型，识别最重要的多个特征
• 使得数据集更易使用
• 降低算法的计算开销
• 去除噪声
• 使得结果更容易理解
• 仅仅需要方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响
• 各主成分之间正交，可以消除原始数据成分间的相互影响的因素
• 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现

缺点

• 不一定需要，且可能损失有用信息
• 主成分各特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强
• 方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响
• PCA原理主要是为了消除变量之间的相关性，并且假设这种相关性是线性的，对于非线性的依赖关系则不能得到很好的结果
• PCA假设变量服从高斯分布，当变量不服从高斯分布（如均匀分布）时，会发生尺度缩放与旋转
• 对降维最终得到的数目，也就是潜在的隐变量的数目，不能很好地估计
   

2.5PCA算法原理 

PCA算法的原理是将高维数据集映射到低维空间中，同时保留数据集的主要信息。具体来说，PCA通过计算协方差矩阵和特征向量来确定数据集的主方向，然后将数据集投影到主方向上。在新的低维空间中，每个特征值都是线性无关的，并且是数据变化的主要方向，因此，它们可以更好地表示数据集。 

2.6PCA算法功能 

PCA算法在机器学习中有许多用途，如：

        1. 降维
        PCA可以将高维数据集降到更低的维度，减少数据存储和处理的开销。

        2. 压缩
        PCA可以将数据集表示为比原始数据集更紧凑的形式，可以用于数据压缩。

        3. 特征提取
        PCA可以从原始数据集中提取最重要的特征，这些特征可以用于构建更好的模型。

        4. 去噪
        PCA可以帮助我们去除噪声，并且使数据集更具可分性。

三、PCA实现人脸识别 

3.1人脸图像矢量化

# 图片矢量化
def img2vector(image):
    img = cv2.imread(image, 0)  # 读取图片
    rows, cols = img.shape  #获取图片的像素
    imgVector = np.zeros((1, rows * cols))
    imgVector = np.reshape(img, (1, rows * cols))#使用imgVector变量作为一个向量存储图片矢量化信息，初始值均设置为0
    return imgVector

3.2训练图片 

# 读入人脸库,每个人随机选择k张作为训练集,其余构成测试集
def load_orl(k):#参数K代表选择K张图片作为训练图片使用
    '''
    对训练数据集进行数组初始化，用0填充，每张图片尺寸都定为112*92,
    现在共有40个人，每个人都选择k张，则整个训练集大小为40*k,112*92
    '''
    train_face = np.zeros((40 * k, 112 * 92))
    train_label = np.zeros(40 * k)  # [0,0,.....0](共40*k个0)
    test_face = np.zeros((40 * (10 - k), 112 * 92))
    test_label = np.zeros(40 * (10 - k))
    # sample=random.sample(range(10),k)#每个人都有的10张照片中，随机选取k张作为训练样本(10个里面随机选取K个成为一个列表)
    sample = random.permutation(10) + 1  # 随机排序1-10 (0-9）+1
    for i in range(40):  # 共有40个人
        people_num = i + 1
        for j in range(10):  # 每个人都有10张照片
            image = orlpath + '/s' + str(people_num) + '/' + str(sample[j]) + '.pgm'
            # 读取图片并进行矢量化
            img = img2vector(image)
            if j < k:
                # 构成训练集
                train_face[i * k + j, :] = img
                train_label[i * k + j] = people_num
            else:
                # 构成测试集
                test_face[i * (10 - k) + (j - k), :] = img
                test_label[i * (10 - k) + (j - k)] = people_num
 
    return train_face, train_label, test_face, test_label

测试集和训练集的像素和标签 

 

3.3PCA降维 

# 定义PCA算法
def PCA(data, r):#降低到r维
    data = np.float32(np.mat(data))
    rows, cols = np.shape(data)
    # print(rows, cols)
    data_mean = np.mean(data, 0)  # 对列求平均值
    A = data - np.tile(data_mean, (rows, 1))  # 将所有样例减去对应均值得到A
    u, s, VT = np.linalg.svd(A) #利用svd求解右奇异向量即需要将原始数组映射的向量空间矩阵
    V_r = VT[:, 0:r]  # 按列取前r个特征向量
    #将原始数据乘上新的空间向量得到降维后的矩阵
    final_data = A * V_r
    return final_data, data_mean, V_r

 3.4不同维度可视化人脸识别

#可视化函数
def compare_images(original, reconstructed, index, title1='Original Image', title2='Reconstructed Image'):
    original_image = original[index].reshape(112,92)
    reconstructed_image = reconstructed[index].reshape(112,92)

    plt.figure(figsize=(8,4))
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.imshow(original_image, cmap='gray')
    plt.title(title1)

    plt.subplot(1,2,2)
    plt.imshow(reconstructed_image, cmap='gray')
    plt.title(title2)

    plt.show()
#人脸识别函数
def face_recongize():
    #首先获取数据集
    train_face, train_label, test_face, test_label = load_orl(7)

    #选择要对比的测试图像的索引（例如，第一张图像）
    compare_indices = range(1)
    for r in range(10, 81, 10):  # 最多降到40维,即选取前40个主成分（因为当k=1时，只有40维)
        print("当降维到%d时" % (r))
 
        # 利用PCA算法进行训练
        data_train_new, data_mean, V_r = PCA(train_face, r)
        # print(data_train_new.shape)
        num_train = data_train_new.shape[0]  # 训练脸总数
        num_test = test_face.shape[0]  # 测试脸总数
        temp_face = test_face - np.tile(data_mean, (num_test, 1))
        data_test_new = temp_face * V_r  # 得到测试脸在特征向量下的数据
        data_test_new = np.array(data_test_new)  # mat change to array
        # print(data_test_new.shape)
        data_train_new = np.array(data_train_new)

        #将降维后的测试数据重构回原始图像空间
        reconstructed_test_faces = np.dot(data_test_new, V_r.T) + data_mean

        #对选定的测试图像进行降维前后对比
        for i in compare_indices:
            compare_images(test_face,reconstructed_test_faces,i)
 
        # 测试准确度
        true_num = 0
        for i in range(num_test):
            testFace = data_test_new[i, :]
            # print(testFace.shape)
            diffMat = data_train_new - np.tile(testFace, (num_train, 1))  # 训练数据与测试脸之间距离
            print(diffMat.shape)
            sqDiffMat = diffMat ** 2
            sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)  # 按行求和
            sortedDistIndicies = sqDistances.argsort()  # 对向量从小到大排序，使用的是索引值,得到一个向量
            indexMin = sortedDistIndicies[0]  # 距离最近的索引
            if train_label[indexMin] == test_label[i]:
                true_num += 1

        accuracy = float(true_num) / num_test
        print('当每个人选择7张照片进行训练时，The classify accuracy is: %.2f%%' % (accuracy * 100))
        # print(test_face.shape)
        # print(reconstructed_test_faces.shape)
            
face_recongize()

返回降维后前后图像对比及像素 

 

3.5不同维度人脸识别准确率 

#人脸识别
def face_rec():
    #k=int(input("每个人选择几张照片进行训练："))
    #x_value=[]
    #y_value=[]
    for r in range(10,41,10):#最多降到40维,即选取前40个主成分（因为当k=1时，只有40维)
        print("当降维到%d时"%(r))
        x_value=[]#绘图x轴 k取值
        y_value=[]#绘图y轴 识别率
        for k in range(1,10):
            train_face,train_label,test_face,test_label=load_orl(k)#得到数据集
        
            #利用PCA算法进行训练
            data_train_new,data_mean,V_r=PCA(train_face,r)
            num_train = data_train_new.shape[0]#训练脸总数
            num_test = test_face.shape[0]#测试脸总数
            temp_face = test_face - np.tile(data_mean,(num_test,1))##去平均后测试行组成的大矩阵(40*(10-k),112*92)
            data_test_new = temp_face*V_r#得到测试脸在特征向量下的数据
            data_test_new = np.array(data_test_new) # mat change to array
            data_train_new = np.array(data_train_new)
    
            #测试准确度
            true_num = 0
            for i in range(num_test):
                testFace = data_test_new[i,:]
                diffMat = data_train_new - np.tile(testFace,(num_train,1))#训练数据与测试脸之间距离
                sqDiffMat = diffMat**2
                sqDistances = sqDiffMat.sum(axis=1)#按行求和
                sortedDistIndicies = sqDistances.argsort()#对向量从小到大排序，使用的是索引值,得到一个向量
                indexMin = sortedDistIndicies[0]#距离最近的索引
                if train_label[indexMin] == test_label[i]:
                    true_num += 1
                else:
                    pass

            accuracy = float(true_num)/num_test
            x_value.append(k)
            y_value.append(round(accuracy,2))
            
            print ('当每个人选择%d张照片进行训练时，The classify accuracy is: %.2f%%'%(k,accuracy * 100))
        
        #绘图
        if r==10:
            y1_value=y_value
            plt.plot(x_value,y_value,marker="o",markerfacecolor="red")
            for a, b in zip(x_value, y_value):  
                plt.text(a,b,(a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)  
 
      
            plt.title("降到10维时识别准确率",fontsize=14)
            plt.xlabel("K值",fontsize=14)
            plt.ylabel("准确率",fontsize=14)
            plt.show()
            #print ('y1_value',y1_value)
        if r==20:
            y2_value=y_value
            plt.plot(x_value,y2_value,marker="o",markerfacecolor="red")
            for a, b in zip(x_value, y_value):  
                plt.text(a,b,(a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)  
 
      
            plt.title("降到20维时识别准确率",fontsize=14)
            plt.xlabel("K值",fontsize=14)
            plt.ylabel("准确率",fontsize=14)
            plt.show() 
            #print ('y2_value',y2_value)
        if r==30:
            y3_value=y_value
            plt.plot(x_value,y3_value,marker="o",markerfacecolor="red")
            for a, b in zip(x_value, y_value):  
                plt.text(a,b,(a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)  
 
      
            plt.title("降到30维时识别准确率",fontsize=14)
            plt.xlabel("K值",fontsize=14)
            plt.ylabel("准确率",fontsize=14)
            plt.show()
            #print ('y3_value',y3_value)
        if r==40:
            y4_value=y_value 
            plt.plot(x_value,y4_value,marker="o",markerfacecolor="red")
            for a, b in zip(x_value, y_value):  
                plt.text(a,b,(a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)  
 
      
            plt.title("降到40维时识别准确率",fontsize=14)
            plt.xlabel("K值",fontsize=14)
            plt.ylabel("准确率",fontsize=14)
            plt.show()
            #print ('y4_value',y4_value) 
        
        
        
    #各维度下准确度比较
    L1,=plt.plot(x_value,y1_value,marker="o",markerfacecolor="red")   
    L2,=plt.plot(x_value,y2_value,marker="o",markerfacecolor="red")
    L3,=plt.plot(x_value,y3_value,marker="o",markerfacecolor="red")
    L4,=plt.plot(x_value,y4_value,marker="o",markerfacecolor="red")
    #for a, b in zip(x_value, y1_value):  
    #    plt.text(a,b,(a,b),ha='center', va='bottom', fontsize=10)  
 
    plt.legend([L1,L2,L3,L4], ["降到10维", "降到20维","降到30维","降到40维"], loc=4)
    plt.title("各维度识别准确率比较",fontsize=14)
    plt.xlabel("K值",fontsize=14)
    plt.ylabel("准确率",fontsize=14)
    plt.show()

返回不同维度下人脸识别准确率

 

四、问题及总结 

问题

报错：UserWarning: Glyph 20934 (\N{CJK UNIFIED IDEOGRAPH-51C6}) missing from current font.

原因是未安装对应的字体库，需进行如下处理

1、下载SimHei字体

https://link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/yuehuhu/some-useful/raw/master/ttf/SimHei.ttf

2、修改matplotlibrc文件

 font.family         : sans-serif   
 # 去掉前面的#     
 font.sans-serif     : SimHei, Bitstream Vera Sans, Lucida Grande, Verdana, Geneva, Lucid, Arial, Helvetica, Avant Garde, sans-serif  
 # 去掉前面的#，并在冒号后面添加SimHei
 axes.unicode_minus  : False
 # 去掉前面的#，并将True改为False

3、删除matplotlib的系统缓存并重启

rm -rf ~/.matplotlib/*

总结 

PCA算法是一种广泛使用的算法，用于降维、特征提取和数据压缩等。它可以使数据集更易于处理，并提供更好的可视化效果。但是，PCA也有一些限制，例如不能更好地理解非线性数据集。这次实验让我对主成分分析有了一定的了解和认识，能运用其解决实际问题，但还不能熟练使用，要继续加强对机器学习相关知识的学习。总的来说是一次收获满满的实验。