Unity中Shader观察空间推导

---

前言

在上一篇文章中，我们推演了矩阵几何计算。

• Unity中Shader矩阵变换的几何体现

在这篇文章中，我们来推导一下 观察空间（摄像机空间）。

---

一、本地空间怎么转化到观察空间

可以根据上篇文章的推导得出：

• 在两个不同角度坐标系下的坐标信息转化可以由如下公式算出。

P_view = [W_view] * P_world

[W_view] = [V_world]^-1 = [V_world]^T

P_view = [V_world]^T * P_world

• P_view顶点在观察空间下的坐标
• P_world顶点在世界空间下的坐标
• W_view世界空间的基向量 在 观察空间下的矩阵
• V_world观察空间的基向量 在 世界空间下的矩阵

---

二、怎么得到观察空间的基向量

• 我们的观察空间使用的是右手坐标系
  

1、Z轴向量

• Z轴正方向是从 模型顶点 指向 摄像机 方向
• Z = ViewPos - ViewTarget
  
  现在只知道 Z轴，还需要求 X Y轴。

2、假设 观察空间的 Y_假设 = (0,1,0)

• X = Y 与 Z 的叉积
• Y = X 与 Z 的叉积

3、X = Y 与 Z 的叉积

4、Y = X 与 Z 的叉积

最后，得到的就是 视图空间坐标轴方向上的向量，归一化后即可作为基向量使用

---

三、求 [V_world]^T

1、求V_world

• 把基向量一列一列的写来排列得到 V_world

$$\begin{array}{ccc}VworldXx& VworldYx& VworldZx\\ VworldXy& VworldYy& VworldZy\\ VworldXz& VworldYz& VworldZz\end{array}$$

2、求[V_world]^T

这里原本是求逆矩阵，但是基向量矩阵是正交矩阵,所以逆矩阵 = 转置矩阵

$$\begin{array}{ccc}VworldXx& VworldXy& VworldXz\\ VworldYx& VworldYy& VworldYz\\ VworldZx& VworldZy& VworldZz\end{array}$$

---

四、求出最后在Unity中使用的公式

• P_view = [V_world]^T * P_world

1、偏移坐标轴

在之前的步骤中，我们只完成坐标系的旋转转化。
但是，我们的 观察空间 和 世界空间 的原点不在同一地方。
所以，需要进行平移变换

2、把 平移的坐标 构建成之前文章中使用的 平移矩阵

$$\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -Tx\\ 0& 1& 0& -Ty\\ 0& 0& 1& -Tz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

• 则我们的公式会变成如下样子：
  

3、化简我们的矩阵

• 这两个矩阵相乘，最后的一列的结果，可以化简为：

$$\begin{array}{c}-(VworldXdotT)\\ -(VworldYdotT)\\ -(VworldZdotT)\\ 1\end{array}$$

• 最后，公式化简为：