第七部分 二元关系

目录

主要内容

有序对性质:

例1

笛卡儿积的性质

例2

A上重要关系的实例 

例如

例3

关系的基本运算

例4

说明：

例5

关系运算的性质

注意：

例6 

简单来说：

等价关系的定义与实例

例

例7

哈斯图:

特点：

例8

性质：

性质：

例9

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主要内容

有序对与笛卡儿积

二元关系的定义与表示法

关系的运算

关系的性质

关系的闭包

等价关系与划分

偏序关系

本章的概念特别多，一步一步慢慢来，很容易理解的

定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>

在下面，我称前面的x为第一位，后面的y为第二位

有序对性质:

(1) 有序性 < x , y > ≠ < y , x > （当 x ≠ y 时）

(2) < x , y > 与 < u , v > 相等的充分必要条件是 < x , y >=< u , v > ⇔ x = u ∧ y = v

即前一个数字跟另一个元素的前一个数字，后一个数字跟另一个元素的后一个数字一一对应

定义 7.2 设 A , B 为集合， A 与 B 的 笛卡儿积 记作 A × B ，且 A × B = {< x , y >| x ∈ A ∧ y ∈ B }

A中元素分别与每个B中元素组合，即A×B，此时A中元素在第一位

B×A则B中元素在第一位

例1

A ={1,2,3}, B ={ a , b , c }

A × B ={<1, a >,<1, b >,<1, c >,<2, a >,<2, b >,<2, c >,<3, a >,<3, b >,<3, c >}

B × A ={< a ,1>,< b ,1>,< c ,1>,< a ,2>,< b ,2>,< c ,2>,< a ,3>,< b ,3>,< c ,3>}

A ={ ∅ }, B = ∅

P ( A ) × A = {< ∅ , ∅ >, <{ ∅ }, ∅ >}

P ( A ) × B = ∅

笛卡儿积的性质

(1) 不适合交换律

A × B ≠ B × A ( A ≠ B , A ≠∅ , B ≠∅ )       因为A×B和B×A，结果中每位元素的第一位分别是A中元素和B中元素

(2) 不适合结合律

( A × B ) × C ≠ A × ( B × C ) ( A ≠∅ , B ≠∅ , C ≠∅ )

(3) 对于并或交运算满足分配律

A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) ( B ∪ C ) × A = ( B × A ) ∪ ( C × A )

A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) ( B ∩ C ) × A = ( B × A ) ∩ ( C × A )

(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 A × B 就是空集 .

A ×∅ = ∅× B = ∅

(5) 若 | A | = m , | B | = n , 则 | A × B | = mn       元素个数为A中元素个数×B中元素个数

定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一：

(1) 集合非空 , 且它的元素都是有序对

(2) 集合是空集

则称该集合为一个 二元关系 , 简称为关系，记作 R

如果 < x , y > ∈ R , 可记作 xRy ；如果 < x , y > ∉ R , 则记作 x y

简单来说，两个集合中的元素x和y之间有某种关系，这种关系是自己定义的

定义7.4

设 A , B 为集合 , A × B 的任何子集所定义的二元关系叫做 从 A 到 B 的二元关系 , 当 A = B 时则叫做 A 上的二元关系

例2

A={0,1}, B={1,2,3}

那么 R1={<0,2>}, R2 =A×B, R3 =∅, R4={<0,1>}

R 1 , R 2 , R 3 , R 4 是从 A 到 B 的二元关系

对于R1,A×B中有<0,2>元素，所以为A×B的子集

对于R2也是

对于R3空集为任何集合子集

对于R4，有<0,1>元素，A中有0，B中有1

R 3 和 R 4 也是 A 上的二元关系

因为R3为空集，空集为所有集合上的空关系，A中有0，1，所以A中元素和A中元素可以组成<0,1>，R4为A×A的子集

计数 :

| A |= n , | A × A |= n 2 , A × A 的子集有个 . 所以 A 上有 个不同的二元关系

例如

| A | = 3, 则 A 上有 =512 个不同的二元关系

A上重要关系的实例 

定义7.5 设 A 为集合

(1) ∅ 是 A 上的关系，称为 空关系

(2)

全域关系 E A = {< x , y >| x ∈ A ∧ y ∈ A } = A × A

恒等关系 I A = {< x , x >| x ∈ A }

小于等于关系 L A = {< x , y >| x , y ∈ A ∧ x ≤ y }, A 为实数子集

整除关系 D B = {< x , y >| x , y ∈ B ∧ x 整除 y }, A 为非 0 整数子集

包含关系 R ⊆ = {< x , y >| x , y ∈ A ∧ x ⊆ y }, A 是集合族

注意：对于整除x整除y则，y/x为整数

例如

对于A={1, 2}

则

E A = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

I A = {<1,1>,<2,2>}

对于A = {1, 2, 3}, B ={ a , b }

则

L A = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}

D A = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}

对于A = P ( B ) = { ∅ ,{ a },{ b },{ a , b }}

则

A 上的包含关系是

R ⊆ = {< ∅ , ∅ >,< ∅ ,{ a }>,< ∅ ,{ b }>,< ∅ ,{ a , b }>,<{ a },{ a }>, <{ a },{ a , b }>,<{ b },{ b }>,<{ b },{ a , b }>,<{ a , b },{ a , b}>}

类似的还可以定义：

大于等于关系 , 小于关系 , 大于关系 , 真包含关系等

关系矩阵

若 A ={ x 1 , x 2 , …, x m } ， B ={ y 1 , y 2 , …, y n } ， R 是从 A 到 B 的 关系， R 的关系矩阵是布尔矩阵 M R = [ r ij ] m × n , 其中 r ij = 1 ⇔ < x i , y j > ∈ R

关系图

若 A = { x 1 , x 2 , …, x m } ， R 是从 A 上的关系， R 的关系图是 G R =< A , R >, 其中 A 为结点集， R 为边集 . 如果 < x i , x j > 属于 关系 R ，在图中就有一条从 x i 到 x j 的有向边 .

例3

A ={1,2,3,4}    A为结点

R ={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}

R 的关系矩阵 M R 和关系图 G R 如下：

对于关系矩阵，R中有五个元素，每个元素第一位对应行，二位对应列

对于关系图，R中元素第一位对应起点，第二位对应终点

关系的基本运算

定义 7.6 关系的 定义域 、 值域 与 域 分别定义为

dom R = { x | ∃ y (< x , y > ∈ R) }        元素的第一位数字并在一起的集合

ran R = { y | ∃ x (< x , y > ∈R) }        元素的第二位数字并在一起的集合

fld R = dom R ∪ ranR        元素的第一位和第二位数字并在一起的集合

例4 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}

则

dom R ={1, 2, 4}

ran R ={2, 3, 4}

fld R ={1, 2, 3, 4}

定义7.7 关系的逆运算

  = { < y , x > | < x , y > ∈ R }

定义 7.8 关系的 合成 运算

R ° S = { < x , z > | ∃ y (< x , y > ∈ R ∧ < y , z > ∈ S ) 

简单来说，

逆运算中每位元素第一位和第二位交换位置

合成运算中，例如有A集合中有<1,2>B集合有<2,3>则得出的集合有A °B中有<1,3>

要A中的第二位与B中第一位相等，则A中第一位与B中第二位组成一个元素

例4

R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}

S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}

= {<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}

R ° S = {<1,3>, <2,2>, <2,3>}

S ° R = {<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}

多看几个例题便于理解

定义7.9 设R为二元关系, A是集合

(1) R 在 A 上的 限制 记作 R ↾ A , 其中 R ↾ A = { < x , y > | xRy ∧ x ∈ A }

(2) A 在 R 下的 像 记作 R [ A ], 其中 R [ A ]=ran( R ↾ A )

这个比较难理解，简单来说

限制就是第一位必须为A集合的元素

像的意思是限制后的值域，即第一位为A集合的元素，然后第二位数字的并集

说明：

R 在 A 上的限制 R ↾ A 是 R 的子关系，即 R ↾ A ⊆ R

A 在 R 下的像 R [ A ] 是 ran R 的子集，即 R [ A ] ⊆ ran R

例5

设 R ={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}

则

R ↾ {1} = {<1,2>,<1,3>}

R ↾ ∅ = ∅

R ↾ {2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>}

R [{1}] = {2,3}

R [ ∅ ] = ∅

R [{3}] = {2}

关系运算的性质

定理有点多，依据我上面的解释，自己想一下就明白了

定理7.1 设F是任意的关系, 则

(1) =F

(2) = ran F, = dom F

定理7.2 设F, G, H是任意的关系, 则

(1) ( F ° G ) ° H = F ° ( G ° H )

(2)= °

定理7.3 设R为A上的关系, 则

R ° I A = I A ° R = R

定理 7.4

(1) F ° ( G ∪ H ) = F ° G ∪ F ° H

(2) ( G ∪ H ) ° F = G ° F ∪ H ° F

(3) F ° ( G ∩ H ) ⊆ F ° G ∩ F ° H

(4) ( G ∩ H ) ° F ⊆ G ° F ∩ H ° F

定理 7.4 的结论可以推广到有限多个关系

R ° ( R 1 ∪ R 2 ∪ … ∪ R n ) = R ° R 1 ∪ R ° R 2 ∪ … ∪ R ° R n

( R 1 ∪ R 2 ∪ … ∪ R n ) ° R = R 1 ° R ∪ R 2 ° R ∪ … ∪ R n ° R

R ° ( R 1 ∩ R 2 ∩ … ∩ R n ) ⊆ R ° R 1 ∩ R ° R 2 ∩ … ∩ R ° R n

( R 1 ∩ R 2 ∩ … ∩ R n ) ° R ⊆ R 1 ° R ∩ R 2 ° R ∩ … ∩ R n ° R

定理 7.5 设 F 为关系 , A , B 为集合 , 则

(1) F ↾ ( A ∪ B ) = F ↾ A ∪ F ↾ B

(2) F [ A ∪ B ] = F [ A ] ∪ F [ B ]

(3) F ↾ ( A ∩ B ) = F ↾ A ∩ F ↾ B

(4) F [ A ∩ B ] ⊆ F [ A ]∩ F [ B ]

定义 7.10

设 R 为 A 上的关系 , n 为自然数 , 则 R 的 n 次幂 定义为：

(1) = { < x , x > | x ∈ A } = I A

(2) = ° R

注意：

对于 A 上的任何关系 R 1 和 R 2 都有 == I A

对于 A 上的任何关系 R 都有 = R

例6 

设A = {a,b,c,d}, R = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求 R 的各次幂 , 分别用矩阵和关系图表示

R与的关系矩阵分别是

和 的矩阵是：

因此=   , 即 = . 因此可以得到

= ==…

= = =…

的关系矩阵是

,,, ,… 的关系图如下图所示

定理 7.6 设 A 为 n 元集 , R 是 A 上的关系 , 则存在自然数 s 和  t , 使得   = 

定理 7.7 设 R 是 A 上的关系 , m , n ∈ N, 则

(1) ° =

(2) =

定义 7.11 设 R 为 A 上的关系 ,

(1) 若 ∀ x ( x ∈ A →< x , x > ∈ R ), 则称 R 在 A 上是 自反 的

(2) 若 ∀ x ( x ∈ A →< x , x > ∉ R ), 则称 R 在 A 上是 反自反 的

定义7.12 设 R 为 A上的关系,

(1) 若 ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R →< y , x > ∈ R ), 则称 R 为 A 上 对 称 的关系 .

(2) 若 ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ∧ < y , x > ∈ R → x = y ), 则称 R 为 A 上的 反对称 关系

定义7.13 设R为A上的关系, 若∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称 R 是A上的传递关系

定理 7.8  设 R 为 A 上的关系 , 则

(1) R 在 A 上自反当且仅当 I A ⊆ R

(2) R 在 A 上反自反当且仅当 R ∩ I A = ∅

(3) R 在 A上对称当且仅当 R=

(4) R 在 A 上反对称当且仅当 R∩  ⊆ I A

(5) R 在 A 上传递当且仅当 R ° R ⊆ R

简单来说：

自反：每个元素的第一位和第二位相同

反自：每个元素的第一位和第二位不相同 

对称：每个元素交换第一位和第二位，都能得到另一个元素也在这个集合

反对称：每个元素交换第一位和第二位，都能得到另一个元素也在这个集合，并且第一位等于第二位

传递：相当于A°B，即集合中两个元素的第二位和第一位相同可以得出，第一位和第二位的组合也在这个集合

<1,2><2,3>—><1,3>

定义7.14 设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R′ , 使得R′满足以下条件：

(1) R ′ 是自反的 ( 对称的或传递的 )

(2) R ⊆ R ′

(3) 对 A 上任何包含 R 的自反 ( 对称或传递 ) 关系 R ′′ 有 R ′⊆ R ′′

R 的自反闭包记作 r ( R ), 对称闭包记作 s ( R ), 传递闭包记作 t ( R )

定理 7.9  设 R 为 A 上的关系 , 则有

(1) r ( R )= R ∪

(2) s ( R )= R ∪

(3) t ( R )= R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ …

结合这个定理，看定义7.14就很简单

定理7.10 设R是非空集合A上的关系

则

(1) R 是自反的当且仅当 r ( R )= R .

(2) R 是对称的当且仅当 s ( R )= R .

(3) R 是传递的当且仅当 t ( R )= R

定理 7.11  设 R 1 和 R 2 是非空集合 A 上的关系 , 且 R 1 ⊆ R 2

则

(1) r ( R 1 ) ⊆ r ( R 2 )

(2) s ( R 1 ) ⊆ s ( R 2 )

(3) t ( R 1 ) ⊆ t ( R 2 )

定理 7.12  设 R 是非空集合 A 上的关系

(1) 若 R 是自反的 , 则 s ( R ) 与 t ( R ) 也是自反的

(2) 若 R 是对称的 , 则 r ( R ) 与 t ( R ) 也是对称的

(3) 若 R 是传递的 , 则 r ( R ) 是传递的

等价关系的定义与实例

定义 7.15 设 R 为非空集合上的关系 . 如果 R 是自反的、对称的和 传递的 , 则称 R 为 A 上的 等价关系 . 设 R 是一个等价关系 , 若 < x , y > ∈ R , 称 x 等价于 y , 记做 x ～ y

例

设 A ={1,2,…,8}, 如下定义 A 上的关系 R ：

R ={< x , y >| x , y ∈ A ∧ x ≡ y (mod 3)}

其中 x ≡ y (mod 3) 叫做 x 与 y 模 3 相等 , 即 x 除以 3 的余数与 y 除以 3 的余数相等 . 不难验证 R 为 A 上的等价关系 , 因为

(1) ∀ x ∈ A , 有 x ≡ x (mod 3)

(2) ∀ x , y ∈ A , 若 x ≡ y (mod 3), 则有 y ≡ x (mod 3)

(3) ∀ x , y , z ∈ A , 若 x ≡ y (mod 3), y ≡ z (mod 3), 则有 x ≡ z (mod 3)

 

定义 7.16 设 R 为非空集合 A 上的等价关系 , ∀ x ∈ A ，令 [ x ] R = { y | y ∈ A ∧ xRy }

称 [ x ] R 为 x 关于 R 的等价类 , 简称为 x 的 等价类 , 简记为 [ x ] 或

例

A ={1, 2, … , 8} 上模 3 等价关系的等价类：

[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}

[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}

[3] = [6] = {3, 6}

意思是用集合中一个元素代表一个集合，这样的集合都是等价的

定义 7.17 设 R 为非空集合 A 上的等价关系 , 以 R 的所有等价 类作为元素的集合称为 A 关于 R 的 商集 , 记做 A / R, A / R = {[ x ] R | x ∈ A }

例

设 A ={1,2,…,8} ， A 关于模 3 等价关系 R 的商集为

A/R = {{1,4,7}, {2,5,8}, {3,6}}

A 关于恒等关系和全域关系的商集为：

A/I A = {{1}, {2}, …, {8}}

A/E A = {{1,2,…,8}}

定义 7.18 设 A 为非空集合 , 若 A 的子集族 π ( π ⊆ P ( A )) 满足 :

(1) ∅ ∉ π

(2) ∀ x ∀ y ( x , y ∈ π ∧ x ≠ y → x ∩ y = ∅ )

(3) ∪ π = A

 则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块

例7

设 A＝{ a, b, c, d }, 给定 π1, π2, π3, π4, π5, π6如下：

π 1 ={{ a , b , c },{ d }}

π 2 ={{ a , b }, { c }, { d }}

π 3 ={{ a }, { a , b , c , d }}

π 4 ={{ a , b }, { c }}

π 5 ={ ∅ ,{ a , b }, { c , d }}

π 6 ={{ a , { a }}, { b , c , d }}

则 π 1 和 π 2 是 A 的划分 , 其他都不是 A 的划分 .

对于划分，集合中的所有元素并在一起必须包含A的所有元素，并且每个元素都没有相同的元素

定义 7.19

偏序关系 ：非空集合 A 上的自反、反对称和传递的关系， 记作 ≼ . 设 ≼ 为偏序关系 , 如果 < x , y > ∈ ≼ , 则记作 x ≼ y , 读作 x “ 小于或等于” y

定义7.20 设 R 为非空集合A上的偏序关系,

(1) x , y ∈ A , x 与 y 可比 ⇔ x ≼ y ∨ y ≼ x

(2) 任取元素 x 和 y , 可能有下述几种情况发生：

x ≺ y ( 或 y ≺ x ), x ＝ y , x 与 y 不是可比的

定义 7.21 R 为非空集合 A 上的偏序关系 ,

∀ x , y ∈ A , x 与 y 都是可比的，则称 R 为 全序 （或线序）

定义 7.22 x , y ∈ A , 如果 x ≺ y 且不存在 z ∈ A 使得 x ≺ z ≺ y , 则称 y 覆盖 x

类似不满足传递性

定义7.23 集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记作<A,≼>.

哈斯图:

利用偏序关系的自反、反对称、传递性进行简化的 关系图

与偏序关系区分

特点：

(1) 每个结点没有环

(2) 两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表 示，位置低的元素的顺序在前

(3) 具有覆盖关系的两个结点之间连边 区分

例8

偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, R整除>和<P({a,b,c}),R⊆ >的哈斯图

 

定义 7.24 设 < A , ≼ > 为偏序集 , B ⊆ A , y ∈ B

(1) 若 ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) 成立 , 则称 y 为 B 的 最小元

(2) 若 ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) 成立 , 则称 y 为 B 的 最大元

(3) 若 ∀ x ( x ∈ B ∧ x ≼ y → x = y ) 成立 , 则称 y 为 B 的 极小元

(4) 若 ∀ x ( x ∈ B ∧ y ≼ x → x = y ) 成立 , 则称 y 为 B 的 极大元

性质：

(1) 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，可能存在多个

(2) 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定唯一

(3) 最小元一定是极小元，最大元一定是极大元

(4) 孤立结点既是极小元，也是极大元

定义 7.25 设 < A , ≼ > 为偏序集 , B ⊆ A , y ∈ A

(1) 若 ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) 成立 , 则称 y 为 B 的 上界

(2) 若 ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) 成立 , 则称 y 为 B 的 下界

(3) 令 C ＝ { y | y 为 B 的上界 }, C 的最小元为 B 的 最小上界 或 上确界

(4) 令 D ＝ { y | y 为 B 的下界 }, D 的最大元为 B 的 最大下界 或 下确界

性质：

(1) 下界、上界、下确界、上确界不一定存在

(2) 下界、上界存在不一定惟一

(3) 下确界、上确界如果存在，则惟一

(4) 集合的最小元是其下确界，最大元是其上确界；反之不对

例9

A={1，2，…，12}，≼w为整除关系，B={x|x∈A∧2≤x≤4}在偏序集中求B的上界、下界、最小上界和最大下界

解

上界和最小上界是12

因为B={2,3,4}

上界为无论x是多少都有x整除y的元素

12/2

12/3

12/4

都为整数

下界和最大下界是1

下界为无论x是多少都有y整除x的元素

2/1

3/1

4/1

都为整数