luogu p7482

描述

一个长度为 的非负整数序列，定义 表示从该序列的区间 选择若干不相邻的数的和的最大值。
求所有 的和，最终结果对 取模

分析

这道题我前前后后提交了将近 20 次才过，心态都崩了。首先，对于给定的 我们很容易想到用动态规划去求 （leetcode打家劫舍问题），我们可以用这种方式，分别求出所有的 然后计算它们的和。但是这种做法的复杂度为 ，当数据范围达到 时会超时。考虑分治，对于区间 ，令 ，我们可以将其子区间分为三类：

• 左端点和右端点都在 上。
• 左端点和右端点都在 上。
• 左端点在 上，右端点在 上。

对于第一、二种情况，我们直接递归到该子区间以同样的方法求解，于是只需要考虑第三种情况。分别求出左/右边每个位置为左/右端点时 选不选时的最优答案，记为 。对于一对 的答案即为 。首先可以考虑 的情况，这种情况下始终可以用 替代 ，因为 对 没有限制，所以 选 与 中较大的即可。当 ，我们比较的就是 这两个值的大小，移项之后其实就是比较 的大小。分析到这一步思路就很清晰了，我们可以事先计算出所有的 ，将其按照差值的大小排序，之后采用双指针法。先处理 的情况，移动左指针 直至 ，对于这 个子区间，我们始终选择 。而对于右边的区间我们选择两者中的较大值，同样移动右指针 直至 ，前面 个区间，我们选择 ，后面 个区间选择 ，引入两个变量 分别记录 之前所有 之和，和 及其之后所有 之和。这一轮处理对结果的贡献就是 （为右半区间元素个数）。剩下的就是 的情况，遍历左指针，每次将右指针移动到 的地方，那么对于右指针 之前的子区间，我们选择 及 之后的选择 ，这一次循环对结果的贡献就是 。每次移动右指针时都要更新 与 的值，注意他们是区间的和的和，结果会非常大，记得要取模。分治解法复杂度为

代码

// 动态规划求出每一个 f(l, r)，O(n^2)
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int n; cin >> n;
    int a[n];
    for(int& x: a) cin >> x;

    ll dp[n+1][n+1];
    memset(dp, 0, sizeof dp);

    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][i] = a[i-1];
        ans = (ans + dp[i][i]) % mod;
    }
    for(int len = 2; len <= n; len++) {
        for(int i = 1; i <= n-len+1; i++) {
            int j = i+len-1;
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i][j-2] + a[j-1]);

            ans = (ans + dp[i][j]) % mod;
        }
    }

    cout << ans;
    return 0;
}

// 分治法，O(n*(log_n)^2)
#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll ans;

bool cmp(pair& p1, pair& p2) {
    return p1.second - p1.first < p2.second - p2.first;
}

void solve(const int* a, int lp, int rp) {
    if(lp == rp) {
        ans = (ans + a[lp]) % mod;
        return;
    }

    int mid = (lp+rp) / 2;
    solve(a, lp, mid);
    solve(a, mid+1, rp);

    int n1 = mid-lp+1, n2 = rp-mid;
    pair f1[n1], f2[n2];
    int k1 = 0, k2 = 0;

    // 分别计算 f_{l, 0/1} 和 f_{r, 0/1}
    f1[k1].first = 0; f1[k1++].second = a[mid];
    for(int i = mid-1; i >= lp; i--) {
        if(i == mid-1) {
            f1[k1].first = a[mid-1];
            f1[k1].second = max(a[mid-1], a[mid]);
        }
        else {
            f1[k1].first = max(f1[k1-2].first + a[i], f1[k1-1].first);
            f1[k1].second = max(f1[k1-2].second + a[i], f1[k1-1].second);
        }
        k1++;
    }

    f2[k2].first = 0; f2[k2++].second = a[mid+1];
    for(int i = mid+2; i <= rp; i++) {
        if(i == mid+2) {
            f2[k2].first = a[mid+2];
            f2[k2].second = max(a[mid+1], a[mid+2]);
        }
        else {
            f2[k2].first = max(f2[k2-2].first + a[i], f2[k2-1].first);
            f2[k2].second = max(f2[k2-2].second + a[i], f2[k2-1].second);
        }
        k2++;
    }

    // 根据差值大小排序
    sort(f1, f1+n1, cmp);
    sort(f2, f2+n2, cmp);
    ll preSum = 0, postSum = 0;

    // 移动右指针
    k2 = 0;
    while(k2 < n2 && f2[k2].first >= f2[k2].second) {
        preSum = (preSum+f2[k2++].first) % mod;
    }
    for(int i = k2; i < n2; i++) {
        postSum = (postSum+f2[i].second) % mod;
    }

    // 移动左指针
    k1 = 0;
    while(f1[k1].first >= f1[k1].second) {
        ans = (ans + f1[k1].first*n2%mod + preSum + postSum) % mod;
        k1++;
    }

    // 遍历左指针
    for(; k1 < n1; k1++) {
        while(k2 < n2 && f2[k2].second-f2[k2].first <= f1[k1].second-f1[k1].first) {
            preSum = (preSum+f2[k2].first) % mod;
            postSum = (postSum - f2[k2++].second + mod) % mod;
        }

        ans = (ans + k2*f1[k1].second%mod + (n2-k2)*f1[k1].first%mod + preSum + postSum) % mod;
    }

}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

    int n; cin >> n;
    int a[n];
    for(int& x: a) cin >> x;

    solve(a, 0, n-1);
    cout << ans;

    return 0;
}