MIT_线性代数笔记：第 21 讲 特征值和特征向量

本单元后面的课程主要围绕特征值和特征向量。在这个议题下讨论得都是方阵。

特征向量和特征值 Eigenvectors and eigenvalues

将矩阵 A 与向量 x 相乘当做是对向量的一种操作或者函数，输入 x 而输出 Ax。特征向量即在特定的向量 x 方向上输出的 Ax 平行于 x，即为：
$$Ax=\lambda x$$
其中 x 为矩阵 A 的特征向量，而λ为 A 的特征值。 如果 0 是矩阵的特征值，则有 Ax=0x=0。特征值 0 所对应的向量生成了矩阵
的零空间。如果矩阵 A 为不可逆矩阵，则 0 是其特征值之一。

例 1：矩阵 P 是朝向某平面的投影矩阵。对于这个平面之内的 x，均有 P x=x，因此 x 是特征向量而 1 为特征值。垂直于该平面的向量 x 经投影得到 P x=0，这个 x 也是矩阵的特征向量而 0 为特征值。矩阵 P 的所有特征向量张成了整个空间。

det（A-λI）=0

任意 n x n 矩阵 A 具有 n 个特征值，并且它们的和等于矩阵对角线上的元素之和，这个数值为矩阵的迹（trace）。对于二阶矩阵，在已知一个特征值的条件下，可以据此得到另一个特征值。

方程 Ax=λx 中特征值和特征向量均未知，没法直接求解。因此我们做如下数学处理：Ax=λx，因此有（A-λI）x=0。则 A-λI 为奇异阵，因此 det（A-λI）=0。在这个没有 x 的“特征方程”中，可以解得 n 个特征值，但是有可能方程有重根，则会得到重复的特征值。

得到特征值之后，可以用消元法解（A-λI），这一矩阵零空间中的向量为矩阵A 的特征向量。

矩阵的迹等于特征值之和：
如上所述，将 det（A-λI）=0 展开会得到的 n阶多项式，多项式的解就是矩阵 A 的特征值，根据多项式根与系数的关系，解之和即特征值之和等于${\lambda }^{n-1}$的系数。而行列式展开式中只有对角线的积这一项包含的${\lambda }^{n-1}$（其它项最高是 n-2 次方），而其系数为矩阵 A 对角线元素之和即矩阵A 的迹，因此特征值之和与矩阵的迹相等。
对称矩阵的特征向量正交：
λ1和λ2对是对称矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 x1和 x2。则有 A$x_1$=${\lambda }_1{x}_1$，左乘 x2得 $x_2^T$ A$x_1$=${\lambda }_1$$x_2^T$ $x_1$。而又有$x_2^T$ A $x_1$ =$(A^T{x}_2{)}^T$ $x_1$=${\lambda }_2$ $x_2^T$ $x_1$。因此有$({\lambda }_1-{\lambda }_2)x_2^T$ $x_1$=0,而两特征值不等，所以两特征向量正交。

复数特征值 Complex eigenvalues

可以解得λ 1 = i 和λ 2 =−i。如果一个矩阵具有复数特征值 a+bi，则它的共轭复数 a-bi 也是矩阵的特征值。 实数特征值让特征向量伸缩而虚数让其旋转。

对称矩阵永远具有实数的特征值，而反对称矩阵（antisymmetric matrices），即满足$A^T$ =−A的矩阵，具有纯虚数的特征值。

三角阵和重特征值 Triangular matrices and repeated eigenvalues