近世代数理论基础35：伽罗瓦群及其子群的固定子域

伽罗瓦群及其子群的固定子域

固定子域

设为伽罗瓦扩张,为它的伽罗瓦群,为的子群

令,即是在H中任一相对F自同构作用下不变的元所组成的子域,显然有

例：的6个元中,是恒等映射

它对应的固定子域

故,是2阶子群

易知

类似地,也都是2阶子群

故

易知

故是一个3阶循环群,且

方程的3个根为

方程的伽罗瓦群是这3个根的置换群

若用循环置换表示,并1代表,2代表,3代表,则,,,,

即中的偶置换群

易知的固定子域为

定理：若是伽罗瓦扩张,,则

证明：

基本定理

定理：设为伽罗瓦扩张,,,则和互为逆映射,给出了和之间的反序一一对应

注：反序指：若,则,若,则

证明：

例：

1.令表示有个元的有限域,其中q为素数方幂,将看作它的子域的n次扩张

是由相对的自同构生成的n阶循环群

其中

G的任一子群,r为n的因子

,故当且仅当,即子群对应的固定子域是

2.设p为素数,p次本原单位根在上的极小多项式为

g为模p的原根,

是由相对的自同构生成的p-1阶循环群

G的任一子群,其中e是p-1的因子

推论：设,,则,

其中为由和生成的G的子群,表示域生成的子域

证明：