图文证明 牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它描述了函数的导数和不定积分之间的关系。
该公式通常用来计算定积分。设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数
即F’(x) = f(x)。则牛顿-莱布尼茨公式表示为：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

这个公式描述的就是 F(b)-F(a) , 等于下方的面积

下面开始证明:

第一步 F(x)与f(x)联系

任意在F(X) 上找段变化的区域,如下图:

由拉格朗日中值定理得:
$$△(x)区域上必然有一个点切线的斜率等于\tan (\alpha )$$

所以可以得出$$△(y)=△(x)\ast f(n)$$

所以有下图:

当我们取更多的

但这显然还没有证完

第二步 取的更密

取的更密之后,我们发现面积的组成,越来越解决贴合
所以我们就可以在其中取无数的点,让其直接贴合

$$\begin{gathered} 那我们怎么把这么多的面积和表示为这个呢? \\ {\int }_a^{b}f(x)dx \end{gathered}$$

$$对变化量△(x),△(y)都任意大小的拆为n份,然后显然展开得下图:$$

最后通过黎曼和可以推出
$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

使用定理:

拉格朗日中值定理
黎曼和

参考视频B站