圆排列问题

问题描述

给定n个大小不等的圆c1,c2,…,cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为2+4√2。

解析

如图所示，三个圆分别与底线相切排列，但是排列方式不同，排列产生的总长度是不同的。

上面的图的总长度是小于下面的图的总长度。圆排列问题是寻求一个产生最短的长度的圆排列方式。
下面用回溯法的限界思想来解圆排列问题

回溯法介绍参考自 回溯法介绍

先介绍一下回溯法
1、基本概念：
回溯法是一种类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
2、基本思想
在包含问题的所有解的解空间树中，按照有限搜索的策略，从根节点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索，如果该结点不包含问题的解，则逐层想其祖先结点回溯。（回溯法就是对隐式的深度优先搜索算法）
若用回溯法求解问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有可行的子树都已经被所有遍才结束。而使用回溯法求解任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、解空间的排列树结构
当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称之为排列树。排序树通常有**n！**叶结点。

4、回溯法框架

 1 void backtrack (int t)
 2 {
 3   if (t>n) output(x);
 4   else
 5       for (int i=t;i<=n;i++) {
 6           swap(x[t], x[i]);
 7           if (legal(t)) backtrack(t+1);
 8           swap(x[t], x[i]);//回溯还原
 9       }
10 } //调用函数回溯

在圆排列问题中，我们要做的就是以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

实现代码主要分为三部分

1、center：求每个圆的圆心横坐标，如图所示第n个圆的圆心横坐标为与其相切的圆的横坐标+2*√(r[n]*r[n-1])。他可能与前n-1个圆中的任一个圆相切，所以需要遍历前n-1个圆求出第n个圆的圆心横坐标。初始化时，第一个圆的圆心横坐标为0。

2、compute：计算圆排列的长度，变量Min表示最小圆排列的长度，通过比较找出最小的左部坐标和最大的右部坐标，相减后就是该圆排列的长度，然后把每次不同的排列长度相比较，对Min进行更新。
3、backtrack：当i>n时，算法搜索至叶节点，得到新的圆排列方案。此时算法调用Compute计算当前圆排列的长度，适时更新当前最优值。当i

设计

核心代码

double center(int n) {//计算圆心横坐标
	double length = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {//判断圆是否与排在它之前的任一圆相切
		double temp = x[i] + 2.0 * sqrt(r[n] * r[i]);//前一圆的圆心横坐标加两圆圆心横间距
		if (temp > length)
			length = temp;
	}
	return length;
}

void compute() {//计算当前圆排列长度
	double low = 0, high = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {//找到最左和最右圆心横坐标
		if (x[i] - r[i] < low)
			low = x[i] - r[i];
		if (x[i] + r[i] > high)
			high = x[i] + r[i];
	}
	if (high - low < Min) {//将圆排列长度与最小值比较 决定是否进行更新
		Min = high - low;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			bestsort[i] = r[i];
	}
}

void backtrack(int t) {
	if (t == n + 1)//最后一个圆
		compute();//计算圆排列长度
	else {
		for (int i = t; i <= n; ++i) {
			swap(r[t], r[i]);//全排列
			double centerX = center(t);
			if (centerX + r[t] + r[1] < Min) {//先判断是否在范围内，如果是则不断搜索下一层，如果不是直接回溯。
				x[t] = centerX;
				backtrack(t + 1);
			}
			swap(r[t], r[i]);//全排列换回
		}
	}
}

分析

时间复杂度
由回溯法的排列树可知，最坏情况下搜索子结点的时间复杂度是O(n!)次，即全排列的时间复杂度。
Backtrack()函数每次计算圆排列长度需要O(n)计算时间。
所以综上，整个算法的计算时间复杂性为O((n+1)!)。
虽然理论上时间复杂度很大，但实际的消耗实际由于增加了剪枝条件，会比O((n+1)!)小很多。

空间复杂度
O(n)

算法还可以改进的地方

1、1,2,…, n和n,…,2,1这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计算一个就够了，可以减少约一半的计算量。
2、若所有圆的半径均相同，则只需要计算一个就够了，而不用计算n!个完全相同的圆排列。