信息学奥赛之《向量几何一文通》

Geometry

1. $\pi$：$\arccos (-1)$
2. 余弦定理：对于任意三角形（三边长为 $a,b,c$），则有 $c^2=a^2+b^2-2ab{\cos }_{\theta }$，其中 $\theta$ 为 $a,b$ 边的夹角。
3. 正弦定理：$\frac{a}{{\sin }_{\alpha }}=\frac{b}{{\sin }_{\beta }}=\frac{c}{{\sin }_{\theta }}$

4. 向量的加法：$A+B=C$

5. 向量的减法：$A-B=C$（按照加法的定义并通过平移旋转即可得到）

   

6. 内积（点积）：$A\cdot B=|A||B|{\cos }_{\theta }$

   几何意义：向量 $A$ 在向量 $B$ 上的投影与 $B$ 的长度的乘积

   Code：（证明略）

   double dot (Point A, Point B) { return A.x * B.x + A.y * B.y }
   

7. 外积（叉积）：$A\times B=|A||B|{\sin }_{\theta }$

   几何意义：向量 $A$ 与向量 $B$ 组成的平行四边形的面积（$B$ 在 $A$ 的逆时针方向为正）

   Code：（证明略）

   double cross(Point A, Point B) { return A.x * B.y - B.x * A.y }
   

   

8. 向量取模（向量的长度）

   向量的长度为 $\sqrt{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\mathrm{a},\mathrm{a}}}$，即 $\sqrt{x^2+y^2}$

   注意：前面包括后面的所有向量都默认起点为平面直角坐标系原点

   Code：

   double Length(Point A) { return sqrt(dot(a, a)); }
   

9. 计算向量夹角

   已知向量的点积为 $|A||B|{\cos }_{\theta }$，现在要求 $\theta$，就是 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \acos at position 1: \̲a̲c̲o̲s̲_\frac{\vec A \…

   Code：

   double Angle(Point A, Point B) { return acos(dot(A, B)) /  Length(A) / Length(B)}
   

10. 向量 $A$ 顺时针旋转 $\theta$ 角度

    $(x,y)\left[\begin{array}{cc}{\cos }_{\theta }& -{\sin }_{\theta }\\ {\sin }_{\theta }& {\cos }_{\theta }\end{array}\right]$

    其中 $(x,y)$ 表示向量 $A$，证明略。

    Code：

    Point Rotate(Point A, int Theta)
    {
        return Point(A.x * cos(Theta) + A.y * sin(Theta), -A.x * sin(Theta) + A.y * cos(Theta))
    }
    

11. 直线点向式表示方式：$P+tV$

12. 判断点在直线上：$A\times B=0$，$B$ 是表示该直线的向量，$A$ 是该点与 $B$ 的起点所组成的向量

13. 判断 $2$ 条直线的位置关系，交点的位置（如果有）

    cross(v, w) = 0，则两直线平行或重合。

    两条直线：$P+tV$，$Q+tW$

    

    $V^{\prime }$ 为 $V$ 的平移，红线为两个三角形的高，此时必有 $2$ 个三角形相似

    

    即，$2$ 个紫色三角形是相似的，因为 $V^{\prime }$ 是 $V$ 的平移，所以内错角相等，即 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ang at position 1: \̲a̲n̲g̲ ̲FMJ=\ang HLM，且都是直角三角形，所以相似。那么，$\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{LH}$，因为 $LH=|V|$，所以 $\frac{FJ}{MH}=\frac{FK}{|V|}$，而 $K$ 的坐标为 $P+V\frac{FK}{|V|}$。所以只需要求出 $\frac{FJ}{MH}$ 即可，而 $\frac{FJ}{MH}$ 恰好等于 $\frac{W\times u}{V\times W}$。

    故，$K$ 点的坐标为 $P+V\frac{W\times u}{V\times W}$

    Point Line_Intersection(Point P, Vector V, Point Q, Vector W)
    {
        Vector u = P - Q;
        return P + V * cross(W, u) / cross(V, W);
    }
    

14. 点到直线的距离

    

    设向量 $V$ 为 $B-A$，$W$ 为 $P-A$。

    则有，$\frac{V\times W}{\mathrm{Lengt}{\mathrm{h}}_{\mathrm{V}}}$ 为点 $P$ 到 $AB$ 的距离。

15. 点到线段的距离

    与 $14$ 略有不同，边界情况：如果线段为 $1$ 个点，则就是 $P$ 与线段端点所组成的向量的模长。

    如果 $V_1\cdot V_2<0$，则为 $|V_2|$。解释：$V_1\cdot V_2$ 的符号正负取决于 ${\cos }_{\theta }$，当 $\theta >90°$ 时，${\cos }_{\theta }<0$，恰好是到线段左端点的距离为点 $P$ 到线段的距离。
    

    如果 $V_3\cdot V_1>0$，则为 $|V_3|$，证明类似。

    反之，则为点到直线的距离。

16. 点在直线上的投影

    用点积来求，$A+V(\frac{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\mathrm{V},\mathrm{p}-\mathrm{a}}}{\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\mathrm{V},\mathrm{V}}})$

    与上面类似

17. 点 $P$ 是否在线段 $AB$ 上

    首先，$\mathrm{cros}{\mathrm{s}}_{\mathrm{P}-\mathrm{A},\mathrm{P}-\mathrm{B}}=0$，这样保证了 $P,A,B$ 三点共线。

    其次，$\mathrm{do}{\mathrm{t}}_{\mathrm{P}-\mathrm{A},\mathrm{P}-\mathrm{B}}\le 0$，即 ${\cos }_{\theta }\le 0$，当 $P$ 在线段上，$2$ 个向量相向，$\theta$ 为 $180°$，$\cos$ 为负。

18. 判断 $2$ 条 线段 是否相交
    

    即判断 $A_2,B_2$ 是否在 $A_1{B}_1$ 的 $2$ 侧，且 $A_1,B_1$ 在 $A_2,B_2$ 的 $2$ 侧。

    用叉积做即可。