筛质数算法总结

题目链接

活动 - AcWing 系统讲解常用算法与数据结构，给出相应代码模板，并会布置、讲解相应的基础算法题目。https://www.acwing.com/problem/content/870/

筛法的朴素做法

知识点

时间复杂度为。

代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
        }
        
        for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    get_primes(n);
    
    cout << cnt << endl;
    
    return 0;
}

埃氏筛法

知识点

由质数定理：1~n中有个质数，可得时间复杂度大概是O(n)，真实的时间复杂度是O(loglogn)。

代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            for (int j = i + i; j <= n; j += i) st[j] = true;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    get_primes(n);
    
    cout << cnt << endl;
    
    return 0;
}

线性筛法

知识点

线性筛法需要满足把每个合数用它的质因子筛掉，n只会被最小质因子筛掉。由于每个数只会被筛一次，时间复杂度是O(n)。

代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;  // primes[j]一定是i的最小质因子
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    get_primes(n);
    
    cout << cnt << endl;
    
    return 0;
}

总结

筛质数一般用线性筛法。埃氏筛法有借鉴意义，其思想可以用来解决其它问题。线性筛法在的时候比埃氏筛法快一倍，当时差不多。

参考资料

1. AcWing算法基础课