每周一算法:倍增法求最近公共祖先(LCA)

最近公共祖先

最近公共祖先简称 LCA(Lowest Common Ancestor)。两个节点的最近公共祖先,就是这两个点的公共祖先里面,离根最远的那个。

题目链接

祖孙询问

题目描述

给定一棵包含 n n n 个节点的有根无向树,节点编号互不相同,但不一定是 1 ∼ n 1\sim n 1n

m m m 个询问,每个询问给出了一对节点的编号 x x x y y y,询问 x x x y y y 的祖孙关系。

输入格式

输入第一行包括一个整数 n n n 表示节点个数;

接下来 n n n 行每行一对整数 a a a b b b,表示 a a a b b b 之间有一条无向边。如果 b b b − 1 -1 1,那么 a a a 就是树的根;

n + 2 n+2 n+2 行是一个整数 m m m 表示询问个数;

接下来 m m m 行,每行两个不同的正整数 x x x y y y,表示一个询问。

输出格式

对于每一个询问,若 x x x y y y 的祖先则输出 1 1 1,若 y y y x x x 的祖先则输出 2 2 2,否则输出 0 0 0

数据范围

1 ≤ n , m ≤ 4 × 1 0 4 1≤n,m≤4×10^4 1n,m4×104 1 ≤ 1≤ 1每个节点的编号 ≤ 4 × 1 0 4 ≤4×10^4 4×104

输入样例

10
234 -1
12 234
13 234
14 234
15 234
16 234
17 234
18 234
19 234
233 19
5
234 233
233 12
233 13
233 15
233 19

输出样例

1
0
0
0
2

算法思想

朴素算法

可以每次找深度比较大的那个点,让它向上跳。显然在树上,这两个点最后一定会相遇,相遇的位置就是想要求的 LCA。 或者先向上调整深度较大的点,令他们深度相同,然后再共同向上跳转,最后也一定会相遇。

朴素算法预处理时需要 dfs 整棵树,时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n),单次查询时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。如果树满足随机性质,则时间复杂度与这种随机树的期望高度有关。

倍增法

倍增算法是最经典的 LCA 求法,是朴素算法的改进算法。通过预处理 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 数组,可以大幅减少了跳转次数。 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示点 i i i 的第 2 j 2^j 2j 个祖先。 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 数组可以通过 dfs 预处理出来。

根据倍增思想, f [ i ] [ j ] = f [ f [ i ] [ j − 1 ] ] [ j − 1 ] f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1] f[i][j]=f[f[i][j1]][j1]
每周一算法:倍增法求最近公共祖先(LCA)_第1张图片

寻找 LCA ( x , y ) \text{LCA}(x,y) LCA(x,y)过程可以分为两个阶段:

  • 第一阶段中,将 x , y x,y x,y 两点跳转到同一深度。
  • 在第二阶段中,从最大的 i i i 开始循环尝试,一直尝试到 0 0 0(包括 0 0 0),如果 f [ x ] [ i ] ≠ f [ y ] [ i ] f[x][i]\not=f[y][i] f[x][i]=f[y][i],则 x ← f [ x ] [ i ] , y ← f [ y ] [ i ] x\gets f[x][i],y\gets f[y][i] xf[x][i],yf[y][i],那么最后的 LCA 为 f [ x ] [ 0 ] f[x][0] f[x][0](或 f [ y ] [ 0 ] f[y][0] f[y][0])。

时间复杂度

  • 倍增算法的预处理时间复杂度为 O ( n log ⁡ n ) O(n \log n) O(nlogn)
  • 单次查询时间复杂度为 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)

代码实现

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 40010;
vector<int> g[N];
//f[i][j]表示从结点i的第2^j个祖先
int f[N][20], depth[N];
//预处理每个结点的深度和f[i][j]
void dfs(int i, int fa)
{
    depth[i] = depth[fa] + 1;
    f[i][0] = fa;
    //计算f[i][j]
    for(int j = 1; j <= 15; j ++) f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
    //递归计算i的子结点
    for(int j : g[i])
        if(j != fa) dfs(j, i);
}
int LCA(int x, int y)
{
    //将x设置为较深结点
    if(depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    //将x向上跳,直到跳到同一层
    for(int k = 15; k >= 0; k --)
        //如果f[u][j]跳出了根结点,由于depth[0]=0,跳转的条件不成立
        if(depth[f[x][k]] >= depth[y])
            x = f[x][k];
    //如果y恰好是公共祖先
    if(x == y) return x;
    //将x和y同时向上跳,直到跳到最近公共祖先的下一层
    for(int k = 15; k >= 0; k --)
    {
        //如果x和y都跳出了根结点,由于depth[0]=0,值同时为0,相等则不会跳转
        if(f[x][k] != f[y][k])
        {
            x = f[x][k], y = f[y][k];
        }
    }
    //注意:最后返回的是父结点
    return f[x][0];
}
int main()
{
    int n, m, root;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        //邻接表保存树
        if(b != -1) g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
        else root = a;
    }
    //预处理每个结点的深度和f[i][j]
    dfs(root, 0);
    //处理询问
    cin >> m;
    while (m -- )
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        int lca = LCA(x, y);
        if(x == lca) puts("1");
        else if(y == lca) puts("2");
        else puts("0");
    }
}

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