[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-1 坐标系与概念基准

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：

食用方法
坐标系的组成与表达方式
点的运动在不同三维坐标系中的表达
广义坐标系的推广
点的表达与向量表达，及其不同点

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1. 空间坐标系

坐标系Coordinates是一个用于描述$n$维系统中某一状态参数的坐标表示系统：对于同一$n$维系统的状态参数可用不同的坐标系进行表示，即具有不同的 基底Basis（基矢量） ；而对于不同的坐标系而言，表示同一状态参数存在对应关系，因此坐标系之间也存在着 变化关系，这种变化关系的本质是不同坐标系的基底之间的转换。

• 坐标系的表达：$\left\{F\right\}$,$\left\{M\right\}$，其中“$\{\}$”符号特指坐标系，一般用$\left\{F\right\}$表示固定坐标系 Fixed，$\left\{M\right\}$表示运动坐标系 Moving；对于部分坐标系也可以称为标架Frame。

• 基矢量的表达：$\hat{i},\hat{j},\hat{k}$，其中 “ $\hat{}$ ” 符号特指基矢量;对于固定坐标系 $\left\{F\right\}$，其基矢量特定为：$\hat{I},\hat{J},\hat{K}$，对于其他运动坐标系而言，以坐标系$\left\{M\right\}$为例，其基矢量可写成：${\hat{i}}^M,{\hat{j}}^M,{\hat{k}}^M$

• 标架的表达：以$\left\{M\right\}$为例，其运动标架可表示为：$\left\{M:\left({\hat{i}}^M,{\hat{j}}^M,{\hat{k}}^M\right)\right\}$

当坐标系的维数 $n=3$ 时，便称为空间坐标系。

1.1 笛卡尔坐标系 Cartesian coordinate system

笛卡尔坐标系是我们在三维空间中常用的表示空间运动的坐标系，基于观测位置与对象的不同，还有GPS坐标系 等其他表达方式。对于任一笛卡尔坐标系，视其基矢量为${\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3$，对于该空间内任一点 $P$ 都可以这组基矢量进行表达。

1.2 点Partical的运动与表达

对于空间中任意一点$P$而言，其位置Position表述该系统空间的一种状态参数，因此其在各基矢量上的标量分量即为对应的坐标参数。因此该点$P$在笛卡尔坐标系中的表达为：
$$R_{\mathrm{P}}^X=P=P_1{\hat{X}}_1+P_2{\hat{X}}_2+P_3{\hat{X}}_3$$

1.2.1 笛卡尔直角坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$

对于状态空间中一点$P$，其在固定坐标系标架$\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$上基矢量的投影参数为$\left(P_1,P_2,P_3\right)$，因此可将点 $P$ 在笛卡尔直角坐标系中进行表述
R ⃗ P F = P 1 I ^ + P 2 J ^ + P 3 K ^ = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P 1 P 2 P 3 ] \vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}=P_1\hat{I}+P_2\hat{J}+P_3\hat{K}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] R PF​=P1​I^+P2​J^+P3​K^= ​I^J^K^​ ​T ​P1​P2​P3​​ ​

进而可以求解其速度Velocity参数 $V_{\mathrm{P}}^F$ 为：
V ⃗ P F = R ⃗ ˙ P F = d R ⃗ P F d t = [ I ^ ˙ ↗ 0 J ^ ˙ ↗ 0 K ^ ˙ ↗ 0 ] T [ P 1 P 2 P 3 ] + [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{I}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{J}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{K}}_{\nearrow 0}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] V PF​=R ˙PF​=dtdR PF​​= ​I^˙↗0​J^˙↗0​K^˙↗0​​ ​T ​P1​P2​P3​​ ​+ ​I^J^K^​ ​T ​P˙1​P˙2​P˙3​​ ​
其加速度acceleration参数 $a_{\mathrm{P}}^F$ 为：
a ⃗ P F = V ⃗ ˙ P F = R ⃗ ¨ P F = d V ⃗ P F d t = [ I ^ ˙ ↗ 0 J ^ ˙ ↗ 0 K ^ ˙ ↗ 0 ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] + [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ¨ 1 P ¨ 2 P ¨ 3 ] \vec{a}_{\mathrm{P}}^{F}=\dot{\vec{V}}_{\mathrm{P}}^{F}=\ddot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{V}_{\mathrm{P}}^{F}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{I}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{J}}_{\nearrow 0}\\ \dot{\hat{K}}_{\nearrow 0}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \ddot{P}_1\\ \ddot{P}_2\\ \ddot{P}_3\\ \end{array} \right] a PF​=V ˙PF​=R ¨PF​=dtdV PF​​= ​I^˙↗0​J^˙↗0​K^˙↗0​​ ​T ​P˙1​P˙2​P˙3​​ ​+ ​I^J^K^​ ​T ​P¨1​P¨2​P¨3​​ ​

1.2.2 笛卡尔柱坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },\hat{K}\right)\right\}$

对于不同的坐标系，点 $P$ 在状态空间中并没有发生变化，而由于基矢量的变化导致其投影参数发生改变。在柱坐标系中，点 $P$ 表述为：
$$R_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=P=P_1{}^{\prime }{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+P_2{}^{\prime }{\hat{X}}_{\theta }+P_3{}^{\prime }\hat{K}$$
对于投影参数而言，$P_1{}^{\prime }$表示${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$方向上的长度参数，而$P_2{}^{\prime }$表示${\hat{X}}_{\theta }$方向上的角度参数，而单纯的角度参数在实际的矢量运算过程中是比较难于理解的，因此对柱坐标系而言，实际上是将该方向上的已知投影参数转换到直角坐标系下进行表示

若已知柱坐标系下点 $P$ 的投影参数$P=\left(r,\theta ,k\right)$，其位置方程在直角坐标系下的表示为：
$$R_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=P=r\cos \theta \hat{I}+r\sin \theta \hat{J}+k\hat{K}$$
可视为： [ P 1 P 2 P 3 ] = [ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ k ] \left[ \begin{array}{c} P_1\\ P_2\\ P_3\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} r\cos \theta\\ r\sin \theta\\ k\\ \end{array} \right] ​P1​P2​P3​​ ​= ​rcosθrsinθk​ ​，对速度参数$V_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}$进行求解：
V ⃗ P C = R ⃗ ˙ P C = d R ⃗ P C d t = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ P ˙ 1 P ˙ 2 P ˙ 3 ] = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ d r d t cos ⁡ θ − r d θ d t sin ⁡ θ d r d t sin ⁡ θ + r d θ d t cos ⁡ θ d k d t ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{\vec{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{d}\vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}}{\mathrm{dt}}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{P}_1\\ \dot{P}_2\\ \dot{P}_3\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\cos \theta -r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\sin \theta\\ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}\sin \theta +r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\cos \theta\\ \frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}\\ \end{array} \right] V PC​=R ˙PC​=dtdR PC​​= ​I^J^K^​ ​T ​P˙1​P˙2​P˙3​​ ​= ​I^J^K^​ ​T ​dtdr​cosθ−rdtdθ​sinθdtdr​sinθ+rdtdθ​cosθdtdk​​ ​

当 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0$，$\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0$ 时，即点 $P$ 不在矢径方向上运动，仅绕 $\hat{K}$ 进行平面上的纯回转，可将上式简化为：
V ⃗ P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ − r d θ d t sin ⁡ θ r d θ d t cos ⁡ θ 0 ] = r θ ˙ [ I ^ J ^ K ^ ] T [ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ] \left. \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\sin \theta\\ r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{dt}}\cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] =r\dot{\theta}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\sin \theta\\ \cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] V PC​ ​dtdr​=0,dtdk​=0​= ​I^J^K^​ ​T ​−rdtdθ​sinθrdtdθ​cosθ0​ ​=rθ˙ ​I^J^K^​ ​T ​−sinθcosθ0​ ​

对上式进一步求解其加速度参数 a ⃗ P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 \left. \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0} a PC​ ​dtdr​=0,dtdk​=0​：
a ⃗ P C ∣ d r d t = 0 , d k d t = 0 = r θ ¨ [ I ^ J ^ K ^ ] T [ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 ] + r θ ˙ 2 [ I ^ J ^ K ^ ] T [ − cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 ] = α ⃗ P C × R ⃗ P C + ω ⃗ P C × V ⃗ P C \left. \vec{a}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} \right|_{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{dt}}=0,\frac{\mathrm{d}k}{\mathrm{dt}}=0}=r\ddot{\theta}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\sin \theta\\ \cos \theta\\ 0\\ \end{array} \right] +r\dot{\theta}^2\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} -\cos \theta\\ -\sin \theta\\ 0\\ \end{array} \right] =\vec{\alpha}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\times \vec{R}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}+\vec{\omega}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}\times \vec{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}} a PC​ ​dtdr​=0,dtdk​=0​=rθ¨ ​I^J^K^​ ​T ​−sinθcosθ0​ ​+rθ˙2 ​I^J^K^​ ​T ​−cosθ−sinθ0​ ​=α PC​×R PC​+ω PC​×V PC​
若考虑真实的向量表达，则柱坐标系中，点 $P$ 还可以表述为：
$$R_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=r\left(\theta \right){\hat{X}}_{\mathrm{r}\left(\theta \right)}+k\hat{K}$$
其中：
$$\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ {\hat{X}}_{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\end{array}\right]$$
进而可得：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}\\ {\dot{\hat{X}}}_{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta -\dot{\theta }\sin \theta & \sin \theta +\dot{\theta }\cos \theta \\ -\sin \theta -\dot{\theta }\cos \theta & \cos \theta -\dot{\theta }\sin \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{I}\\ \hat{J}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& \dot{\theta }\\ -\dot{\theta }& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ {\hat{X}}_{\theta }\end{array}\right]$$
对于${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$与${\hat{X}}_{\theta }$而言有：${\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}=\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\theta }=-\dot{\theta }{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}$，此处的${\hat{X}}_{\theta }$表示的是垂直于基矢量${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$的切矢量，与${\hat{X}}_{\theta }$不同。

虽然在三维系统中正常应该具有三个基矢量，而在上式中只有两个基矢量，但其投影参数与矢径上的基矢量为另一个参数$\theta$的函数，因此该式为真实表达形式，同样可得其速度与加速度参数为：
$$\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}={\dot{R}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{k}\hat{K}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{k}\hat{K}\\ a_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}={\dot{V}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }{\dot{\hat{X}}}_{\theta }+\ddot{k}\hat{K}=\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{r}\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }-r{\dot{\theta }}^2{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\ddot{k}\hat{K}\end{array}$$
对上式)进行化简，可得：
$$\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\theta }{\hat{X}}_{\theta }+\dot{k}\hat{K}\\ a_{\mathrm{P}}^{\mathrm{C}}=\left(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2\right){\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right){\hat{X}}_{\theta }+\ddot{k}\hat{K}\end{array}$$

其中：$r\ddot{\theta }$ 称为欧拉项Eulerian term，$2\dot{r}\dot{\theta }$ 称为科里奥利项Coriolis term。

1.2.3 笛卡尔球坐标系

$\left\{F:\left({\hat{X}}_1,{\hat{X}}_2,{\hat{X}}_3\right)\right\}=\left\{F:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\varphi }\right)\right\}$

笛卡尔球坐标系也可以基于投影参数$P=\left(r,\theta ,\varphi \right)$ 在直角坐标系中进行表达，则点 $P$ 的运动参数为：
R ⃗ P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ r cos ⁡ ϕ ] \vec{R}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} r\sin \phi \cos \theta\\ r\sin \phi \sin \theta\\ r\cos \phi\\ \end{array} \right] R PS​= ​I^J^K^​ ​T ​rsinϕcosθrsinϕsinθrcosϕ​ ​
V ⃗ P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ r ˙ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + r ϕ ˙ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ − r θ ˙ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ r ˙ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r ϕ ˙ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ + r θ ˙ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ r ˙ cos ⁡ ϕ − r ϕ ˙ sin ⁡ ϕ ] \vec{V}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \dot{r}\sin \phi \cos \theta +r\dot{\phi}\cos \phi \cos \theta -r\dot{\theta}\sin \phi \sin \theta\\ \dot{r}\sin \phi \sin \theta +r\dot{\phi}\cos \phi \sin \theta +r\dot{\theta}\sin \phi \cos \theta\\ \dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi}\sin \phi\\ \end{array} \right] V PS​= ​I^J^K^​ ​T ​r˙sinϕcosθ+rϕ˙​cosϕcosθ−rθ˙sinϕsinθr˙sinϕsinθ+rϕ˙​cosϕsinθ+rθ˙sinϕcosθr˙cosϕ−rϕ˙​sinϕ​ ​
a ⃗ P S = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ ( r ¨ − r ϕ ˙ 2 − r θ ˙ 2 ) sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + ( 2 r ˙ ϕ ˙ + r ϕ ¨ ) cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ − ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ − ( 2 r θ ˙ ϕ ˙ ) cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ ( r ¨ − r ϕ ˙ 2 − r θ ˙ 2 ) sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + ( 2 r ˙ ϕ ˙ + r ϕ ¨ ) cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + ( 2 r θ ˙ ϕ ˙ ) cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ( r ¨ − r ϕ ˙ 2 ) cos ⁡ ϕ − ( 2 r ˙ ϕ ˙ + r ϕ ¨ ) sin ⁡ ϕ ] \vec{a}_{\mathrm{P}}^{S}=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\theta}^2 \right) \sin \phi \cos \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \cos \phi \cos \theta -\left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \sin \phi \sin \theta -\left( 2r\dot{\theta}\dot{\phi} \right) \cos \phi \sin \theta\\ \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2-r\dot{\theta}^2 \right) \sin \phi \sin \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \cos \phi \sin \theta +\left( 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} \right) \sin \phi \cos \theta +\left( 2r\dot{\theta}\dot{\phi} \right) \cos \phi \cos \theta\\ \left( \ddot{r}-r\dot{\phi}^2 \right) \cos \phi -\left( 2\dot{r}\dot{\phi}+r\ddot{\phi} \right) \sin \phi\\ \end{array} \right] a PS​= ​I^J^K^​ ​T ​(r¨−rϕ˙​2−rθ˙2)sinϕcosθ+(2r˙ϕ˙​+rϕ¨​)cosϕcosθ−(2r˙θ˙+rθ¨)sinϕsinθ−(2rθ˙ϕ˙​)cosϕsinθ(r¨−rϕ˙​2−rθ˙2)sinϕsinθ+(2r˙ϕ˙​+rϕ¨​)cosϕsinθ+(2r˙θ˙+rθ¨)sinϕcosθ+(2rθ˙ϕ˙​)cosϕcosθ(r¨−rϕ˙​2)cosϕ−(2r˙ϕ˙​+rϕ¨​)sinϕ​ ​

在笛卡尔球坐标中，如图所示,可将点 $P$ 的位置表述为:
$$R_{\mathrm{p}}^s=r{\hat{x}}_{\mathrm{r}}$$
其中：
[ X ^ ϕ X ^ θ X ^ r ] = [ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ − sin ⁡ ϕ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ] [ I ^ J ^ K ^ ] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{\phi}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \phi \cos \theta& \cos \phi \sin \theta& -\sin \phi\\ -\sin \theta& \cos \theta& 0\\ \sin \phi \cos \theta& \sin \phi \sin \theta& \cos \phi\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ​X^ϕ​X^θ​X^r​​ ​= ​cosϕcosθ−sinθsinϕcosθ​cosϕsinθcosθsinϕsinθ​−sinϕ0cosϕ​ ​ ​I^J^K^​ ​
进而求得：
[ X ^ ˙ ϕ X ^ ˙ θ X ^ ˙ r ] = [ − ϕ ˙ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ − θ ˙ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ − ϕ ˙ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ + θ ˙ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ − ϕ ˙ cos ⁡ ϕ − θ ˙ cos ⁡ θ − θ ˙ sin ⁡ θ 0 ϕ ˙ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ − θ ˙ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ϕ ˙ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ + θ ˙ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ − ϕ ˙ sin ⁡ ϕ ] [ I ^ J ^ K ^ ] = [ 0 θ ˙ cos ⁡ ϕ − ϕ ˙ − θ ˙ cos ⁡ ϕ 0 − θ ˙ sin ⁡ ϕ ϕ ˙ θ ˙ sin ⁡ ϕ 0 ] [ X ^ ϕ X ^ θ X ^ r ] \begin{split} \left[ \begin{array}{c} \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\phi}}\\ \dot{\hat{X}}_{\mathrm{\theta}}\\ \dot{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] &=\left[ \begin{matrix} -\dot{\phi}\sin \phi \cos \theta -\dot{\theta}\cos \phi \sin \theta& -\dot{\phi}\sin \phi \sin \theta +\dot{\theta}\cos \phi \cos \theta& -\dot{\phi}\cos \phi\\ -\dot{\theta}\cos \theta& -\dot{\theta}\sin \theta& 0\\ \dot{\phi}\cos \phi \cos \theta -\dot{\theta}\sin \phi \sin \theta& \dot{\phi}\cos \phi \sin \theta +\dot{\theta}\sin \phi \cos \theta& -\dot{\phi}\sin \phi\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} 0& \dot{\theta}\cos \phi& -\dot{\phi}\\ -\dot{\theta}\cos \phi& 0& -\dot{\theta}\sin \phi\\ \dot{\phi}& \dot{\theta}\sin \phi& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \hat{X}_{\mathrm{\phi}}\\ \hat{X}_{\mathrm{\theta}}\\ \hat{X}_{\mathrm{r}}\\ \end{array} \right] \end{split} ​X^˙ϕ​X^˙θ​X^˙r​​ ​​= ​−ϕ˙​sinϕcosθ−θ˙cosϕsinθ−θ˙cosθϕ˙​cosϕcosθ−θ˙sinϕsinθ​−ϕ˙​sinϕsinθ+θ˙cosϕcosθ−θ˙sinθϕ˙​cosϕsinθ+θ˙sinϕcosθ​−ϕ˙​cosϕ0−ϕ˙​sinϕ​ ​ ​I^J^K^​ ​= ​0−θ˙cosϕϕ˙​​θ˙cosϕ0θ˙sinϕ​−ϕ˙​−θ˙sinϕ0​ ​ ​X^ϕ​X^θ​X^r​​ ​​
进而求得其速度参数为：
$$V_{\mathrm{P}}^S={\dot{R}}_{\mathrm{P}}^S=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}=\dot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+r\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }$$
角速度参数为：
$$\omega =\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\varphi }-\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\theta }$$
加速度参数为：
$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{P}}^S& ={\dot{V}}_{\mathrm{P}}^S=\{\begin{array}{l}\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}{\dot{\hat{X}}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\ddot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+r\varphi {\dot{\hat{X}}}_{\varphi }\\ +\dot{r}\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\ddot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\dot{\varphi }\cos \varphi {\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\sin \varphi {\dot{\hat{X}}}_{\theta }\end{array}\\ & =\{\begin{array}{l}\ddot{r}{\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\dot{r}\left(\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\varphi }+\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\theta }\right)+\left(\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }\right){\hat{X}}_{\varphi }+r\varphi \left(\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\theta }-\dot{\varphi }{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\\ +\left(\dot{r}\dot{\theta }\sin \varphi +r\ddot{\theta }\sin \varphi +r\dot{\theta }\dot{\varphi }\cos \varphi \right){\hat{X}}_{\theta }+r\dot{\theta }\sin \varphi \left(-\dot{\theta }\cos \varphi {\hat{X}}_{\varphi }-\dot{\theta }\sin \varphi {\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\end{array}\\ & =\left(\ddot{r}-r\varphi \dot{\varphi }-r{\dot{\theta }}^2\sin {\varphi }^2\right){\hat{X}}_{\mathrm{r}}+\left(2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi }-r{\dot{\theta }}^2\sin \varphi \cos \varphi \right){\hat{X}}_{\varphi }+\left[\left(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta }\right)\sin \varphi +\left(r\dot{\theta }\dot{\varphi }+r\varphi \dot{\theta }\right)\cos \varphi \right]{\hat{X}}_{\theta }\end{array}$$

1.2.4 曲线坐标系:Frenet标架（详见微分几何-曲线论内容）

其中，$s$ 为曲线的弧长参数，$\rho$ 为曲线的曲率半径；则有：$\dot{\alpha }=\frac{\dot{s}}{\rho }\beta$，其中，$\ddot{s}$ 为切向加速度，$\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }$ 为向心加速度，整理出：
$$\{\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{P}}^F={\dot{R}}_{\mathrm{P}}^F=\dot{s}\alpha \\ a_{\mathrm{P}}^F={\dot{V}}_{\mathrm{P}}^F=\ddot{s}\alpha +\dot{s}\dot{\alpha }=\ddot{s}\alpha +\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }\beta \end{array}$$

且有角速度$\omega ={\omega }_{\alpha }\alpha +{\omega }_{\beta }\beta +{\omega }_{\gamma }\gamma$，求解下式：$\dot{\alpha }={\omega }_{\gamma }\beta =\frac{\dot{s}}{\rho }\beta ,\dot{\beta }=-{\omega }_{\alpha }\beta =\dot{s}\frac{\mathrm{d}\gamma }{\mathrm{d}s},{\omega }_{\beta }=0$

补充说明:
对于笛卡尔坐标系内的点 $P$ 而言，其速度参数与加速度参数既可以在固定直角坐标系的标架$\left\{F:\left(\hat{I},\hat{J},\hat{K}\right)\right\}$下进行表示，也可以在运动坐标系的标架下$\left\{C:\left({\hat{X}}_{\mathrm{r}},{\hat{X}}_{\theta },\hat{K}\right)\right\}$（柱坐标系）、$\left\{S:\left({\hat{X}}_{\varphi },{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)\right\}$（球坐标系）进行表示，甚至在轨迹的Frenet标架下表示。根据所给的运动参数，可以求得不同标架所对应不同运动的投影参数。

1.2.5 广义坐标系 Generalized coordinates system

对于不固定的单位矢量而言(如上述的柱坐标系中的${\hat{X}}_{\mathrm{r}}$与${\hat{X}}_{\theta }$，球坐标系中的$\left({\hat{X}}_{\varphi },{\hat{X}}_{\theta },{\hat{X}}_{\mathrm{r}}\right)$)，在表达运动时可能更为方便。认为广义坐标generalized coordinates是用来描述系统形位的相互独立广义坐标矢量的投影参数坐标，即在该广义坐标系下描述任意矢量，则有：
$${\dot{r}}_{\mathrm{p}}^e=\left({\dot{q}}_1{e}_1+{\dot{q}}_2{e}_2+\cdots +{\dot{q}}_{\mathrm{n}}{e}_{\mathrm{n}}\right)+\left(Q_1{\dot{e}}_1+q_2{\dot{e}}_2+\cdots +q_{\mathrm{n}}{\dot{e}}_{\mathrm{n}}\right)=\left({\dot{q}}_1{e}_1+{\dot{q}}_2{e}_2+\cdots +{\dot{q}}_{\mathrm{n}}{e}_{\mathrm{n}}\right)+{\omega }^e\times r_{\mathrm{p}}^e$$
对于三维空间而言，则有：
$${\dot{R}}_{\mathrm{P}}^E=\left({\dot{q}}_1+{\omega }_2{q}_3-{\omega }_3{q}_2\right)e_1+\left({\dot{q}}_2+{\omega }_3{q}_1-{\omega }_1{q}_3\right)e_2+\left({\dot{q}}_3+{\omega }_1{q}_2-{\omega }_2{q}_1\right)e_3$$

1.3 矢量Vector在坐标系下的表示与关系转换

对于质量点而言 $P$ ，其可将其在固定坐标系$\left\{F\right\}$（默认为直角坐标系）下进行表示。同理，对于运动坐标系$\left\{M\right\}$而言，点 $P$ 为运动刚体上一点，在运动坐标系下的表达为:$R_{\mathrm{P}}^M$，则其矢量在固定坐标系下的表达为：${\left(R_{\mathrm{P}}^M\right)}^F$，或写成矢量表达形式为：$R_{{\mathrm{O}}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^M\to R_{{\mathrm{O}}^{\mathrm{M}}\mathrm{P}}^F$
R ⃗ P M = P 1 M i ^ M + P 2 M j ^ M + P 3 M k ^ M = [ i ^ M j ^ M k ^ M ] T [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = ( [ Q M F ] T [ I ^ J ^ K ^ ] ) T [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = [ I ^ J ^ K ^ ] T [ Q M F ] [ P 1 M P 2 M P 3 M ] = ( R ⃗ P M ) F \begin{split} \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M}&={P_1}^M\hat{i}^M+{P_2}^M\hat{j}^M+{P_3}^M\hat{k}^M=\left[ \begin{array}{c} \hat{i}^M\\ \hat{j}^M\\ \hat{k}^M\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] =\left( \left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] \right) ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} \hat{I}\\ \hat{J}\\ \hat{K}\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ Q_{\mathrm{M}}^{F} \right] \left[ \begin{array}{c} {P_1}^M\\ {P_2}^M\\ {P_3}^M\\ \end{array} \right] =\left( \vec{R}_{\mathrm{P}}^{M} \right) ^F \end{split} R PM​​=P1​Mi^M+P2​Mj^​M+P3​Mk^M= ​i^Mj^​Mk^M​ ​T ​P1​MP2​MP3​M​ ​= ​[QMF​]T ​I^J^K^​ ​ ​T ​P1​MP2​MP3​M​ ​= ​I^J^K^​ ​T[QMF​] ​P1​