离散数学——谓词逻辑

谓词的概念与表示

在谓词逻辑中，可将原子命题划分为客体和谓词两部分。
客体：可以独立存在的具体事物的或抽象的概念。
谓词：用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。
刻划一个客体性质的词称之为一元谓词,刻划n个客体之间关系的词称之为n元谓词。一般我们用大写英文字母表示谓词，用小写英文字母表示客体名称。
注:
(1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。
(2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1，a2…an)就变成了命题 。
(3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换位置。

命题函数与量词

命题函数 (Propositional functions)

设谓词H表示“是劳动模范”, a表示客体名称张明, b表示客体名称李华,c表示客体名称这只老虎，那么H( a ) 、H( b )、H( c )表示三个不同的命题, 但它们有一个共同的形式,即H(x)。
一般地，H(x)表示客体x具有性质H。这里x表示抽象的或泛指的客体，称为客体变元，常用小写英文字母x,y,z, …表示。相应地，表示具体或特定的客体的词称为客体常项，常用小写英文字母a,b,c, …表示。
同理，客体变元x，y具有关系L，记作L(x,y);客体变元x,y,z具有关系A，记作A(x,y,z).
H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)本身并不是一个命题.只有用特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成为命题。我们称H(x)、L(x,y) 、A(x,y,z)为命题函数。

定义：由一个谓词H和n个客体变元组成的表达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数。
由定义可知， n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。当n=0时,称为0元谓词。因此，一般情况下，命题函数不是命题；特殊情况，0元谓词就变成一个命题。
复合命题函数：由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。



在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。
全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。

量词(Quantifiers)

量词：分为全称量词(∀)和存在量词(∃)

全称量词(The Universal Quantifiers)

对日常语言中的“一切”、“所有”、“凡”、“每一个”、“任意”等词，用符号“∀” 表示，∀ｘ表示对个体域里的所有个体， ∀ｘＦ(ｘ)表示个体域里的所有个体具有性质F。符号“∀”称为全称量词。

存在量词(The Existential Quantifiers)

对日常语言中的“有一个”、“有的”、“存在着”、“至少有一个”、 “存在一些”等词，用符号“∃” 表示， ∃ｘ表示存在个体域里的个体， ∃ｘＦ(ｘ)表示存在个体域里的个体具有性质F。符号“∃”称为存在量词。


有时需要同时使用多个量词。

使用量词时应注意的问题：
（1）在不同的个体域，同一命题的符号化形式可能相同也可能不同。
（2）在不同的个体域，同一命题的真值可能相同也可能不同。(如,R(x)表示x为大学生。如果个体域为大学里的某个班级的学生，则∀x R(x)为真；若个体域为中学里的某个班级的学生，则∀x R（x）为假。)。
（3）约定以后如不指定个体域，默认为全总个体域。对每个客体变元的变化范围，用特性谓词加以限制。
特性谓词：限定客体变元变化范围的谓词。
一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，如（∀x）(M(x) →F(x))；对存在量词，特性谓词常作合取项，如（∃ x）(M(x)∧ G(x))。
(4)一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序不能随意调换。
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为： ∀x∃yH(x,y) ,其真值为1。若调换量词顺序后为： ∃y∀xH(x,y) , 其真值为0。
(5) 当个体域为有限集合时,如D={a1, a2 …, an},对任意
谓词A(x),有：
  (∀x) A(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an )
（∃x）A(x)⇔A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )

谓词公式与翻译

n元谓词A(x1，x2…xn) 称为谓词演算的原子公式。

定义：谓词演算的合式公式，可由下述各条组成：
（1）原子公式是合式公式。
（2）若A 是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
（3）若A，B是合式公式，则(A ∧ B)，(A ∨ B)，(A → B)，(A ↔ B)也是合式公式。
（4）若A是合式公式，x是A中出现的任何变元,则(∀x)A , (∃x)A，也是合式公式。
（5）只有有限次应用(1)~(4)得到的公式是合式公式。

变元的约束

谓词的永真与等价

定义：给定任意的谓词公式A，其个体域为E，对于A的所有赋值，公式A都为真，则称A在E上是永真的(或有效的)；若对于A的所有赋值，公式A都为假，则称A在E上是永假的(或不可满足的)；若至少存在着一种赋值使得公式A为真，则称A在E上是可满足的。

定义：给定任何两个谓词公式A、B，设它们有共同的个体域E，若对A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式A和B在E上等价，并记为A ⇔ B。

前束范式

谓词演算的推理理论

推理规则(Rules of inference)

推理规则(Rules of inference)：
在谓词演算中，推理的形式结构仍为

H1∧H2∧H3∧…∧Hn⇒C

若 H1∧H2∧H3∧…∧Hn→C是永真式，则称由前提H1,H2,H3,.…,Hn逻辑的推出结论C，但在谓词逻辑中, H1,H2,H3,.…,Hn , C均为谓词公式。
命题演算中的推理规则，可在谓词推理理论中应用。

与量词有关的四条重要推理规则：
1、全称指定规则（US规则）
2、全称推广规则（UG规则）
3、存在指定规则（ES规则）
4、存在推广规则（EG规则）
注意：只能对前束范式适用上述规则。

证明举例 (Examples of proof)