概率论与数理统计-第7章 假设检验

假设检验的基本概念

二、假设检验的基本思想

假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法，为了检验一个假设H₀,是否正确，首先假定该假设H₀正确，然后根据抽取到的样本对假设H₀作出接受或拒绝的决策，如果样本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设H₀,否则应接受假设H₀·

三、假设检验的两类错误

• 第一类错误
  当假设H₀正确时，小概率事件也有可能发生，此时，我们会拒绝假设H₀,因而犯了“弃真”的错误，称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率α，即
• 第二类错误
  反之，若假设H₀不正确，但一次抽样检验未发生不合理结果，这时我们就会接受H₀,因而犯了“取伪”的错误，称此为第二类错误，记β为犯第二类错误的概率，即
  
• 理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小.当样本容量n固定时，α,β不能同时都小，即α变小时，β就变大；而β变小时，α就变大.一般只有当样本容量增大时，才有可能使两者同时变小.在实际应用中，一般原则是：控制犯第一类错误的概率，即给定α，然后通过增大样本容量n来减小β.

四、假设检验问题的一般提法

在假设检验问题中，把要检验的假设H₀称为原假设（零假设或基本假设），把原假设H₀的对立面称为备择假设（对立假设），记为H₁.

单正态总体的假设检验

一、总体均值的假设检验

在检验关于总体均值μ的假设时，该总体中的另一个参数（即方差σ2）是否已知，会影响到对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论，

• 1.方差σ²已知的情形
  
  

2.方差σ²未知的情形
第二种情形：σ^2也未知，对均值μ作假设检验。

二、总体方差的假设检验

三、拒绝域是针对检验统计量而言的。检验统计量的观察值落在拒绝域内，意味着小概率事件发生。

四、- 假设检验解题的一般步骤为：

第一步，理解题意，弄清楚题目考查的是哪一种情形的假设检验。
第二步，写出原假设H₀、对立假设H₁。
第三步，在H₀为真时，写出检验统计量的分布，构造概率为α的小概率事件，写出拒绝域的表达式。
第四步，计算检验统计量的观察值。如果观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设；如果观察值落在拒绝域外，则接受原假设。

五.假设检验与区间估计本质上是同一种方法的两种不同表示形式。

考虑正态总体第一种情形的区间估计：σ²已知，对均值μ作区间估计，置信度为1-a。
同时考虑第一种情形的假设检验：σ²已知，对均值μ作假设检验，显著性水平为α,原假设H₀:μ=μ₀。
可以证明：在某次抽样中，当μ₀落在区间估计所求出的置信区间观察值内时，对应的假设检验的结论是接受原假设；当，落在区间估计所求出的置信区间观察值外时，对应的假设检验的结论是拒绝原假设。