旋转的表示

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  三维空间内的旋转可以由三维旋转向量 $\mathbf{n}\theta$ 表示。其中，单位向量 $\mathbf{n}$ 表示旋转轴，$\theta$ 表示旋转角度。旋转向量由一个轴和一个角表示，因此又称轴角，它是李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 空间中的向量。

1.旋转轴的性质

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  我们使用 ${\mathbf{n}}^{\wedge }$ 表示向量 $\mathbf{n}$ 的反对称矩阵，则它的平方

n ∧ 2 = [ 0 − n 3 n 2 n 3 0 − n 1 − n 2 n 1 0 ] [ 0 − n 3 n 2 n 3 0 − n 1 − n 2 n 1 0 ] = [ − n 2 2 − n 3 2 n 1 n 2 n 1 n 3 n 1 n 2 − n 1 2 − n 3 2 n 2 n 3 n 1 n 3 n 2 n 3 − n 1 2 − n 2 2 ] \bm n^ {\land 2} = \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -n_2^2 - n_3^2 & n_1n_2 & n_1n_3 \\ n_1n_2 & -n_1^2 - n_3^2 & n_2n_3 \\ n_1n_3 & n_2n_3 & -n_1^2 - n_2^2 \end{bmatrix} n∧2= ​0n3​−n2​​−n3​0n1​​n2​−n1​0​ ​ ​0n3​−n2​​−n3​0n1​​n2​−n1​0​ ​= ​−n22​−n32​n1​n2​n1​n3​​n1​n2​−n12​−n32​n2​n3​​n1​n3​n2​n3​−n12​−n22​​ ​

于是

$$\mathbf{I}+{\mathbf{n}}^{\wedge 2}=\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

2.罗德里格斯公式

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  罗德里格斯公式用于根据旋转向量（即，轴角，$\mathfrak{so}(3)$ 空间中的向量）求旋转矩阵。它有两种等价的表示形式：

$$\mathbf{R}=\{\begin{array}{rl}& \mathbf{I}+{\mathbf{n}}^{\wedge 2}(1-cos\theta )+{\mathbf{n}}^{\wedge }sin\theta \\ & \mathbf{I}cos\theta +\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\mathrm{T}}(1-cos\theta )+{\mathbf{n}}^{\wedge }sin\theta \end{array}$$

使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。

3.右雅可比矩阵

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  右雅可比矩阵也有两种等价的形式：

$${\mathbf{J}}_r=\{\begin{array}{rl}& \mathbf{I}+{\mathbf{n}}^{\wedge 2}(1-\frac{sin\theta }{\theta })-{\mathbf{n}}^{\wedge }\frac{1-cos\theta }{\theta }\\ & \mathbf{I}\frac{sin\theta }{\theta }+\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\mathrm{T}}(1-\frac{sin\theta }{\theta })-{\mathbf{n}}^{\wedge }\frac{1-cos\theta }{\theta }\end{array}$$

使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。以 $-\theta$ 替换 $\theta$ 即可得到左雅可比矩阵。