动态规划算法

• 算法介绍
• 背包问题
  • 问题
  • 思路分析
• 代码实现

1. 算法介绍

• 动态规划(Dynamic Programming) 算法的核心思想：将 大问题划分为小问题 进行解决，从而一步步获取最优解
• 动态规划算法和分治算法类似，基本思想也是将待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
• 与分治法不同的是，使用于动态规划求解的问题，经分解得到的 子问题往往不是互相独立的。（即下一个阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）
• 动态规划可以通过填表的方式逐步推进，得到最优解

2. 背包问题

2.1 问题

• 背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

物品	重量	价格
吉他（G）	1	1500
音响（S）	4	3000
电脑（L）	3	2000

① 要求达到的目标为装入背包的总价值最大，并且重量不能超出

② 要求装入的物品不能重复

• 背包问题主要是给一个定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包是物品的价值最大。其中又分为 01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
• 这里的问题属于 01背包，即 每个物品最多放一个。而无限背包可以转换成 01背包

2.2 思路分析

image-20220323213134438

• w[i] 表示物品的重量 ，v[i] 表示物品的价格，C为背包容量，v[i][j]表示前i个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值
• 主要思想：每遍历到第 i 个物品，根据 w[i] 和 v[i] 来确定是否需要将该物品放入背包中。

① v[i][0] = v[0][j]=0, //表示填入表 第一行和第一列都是0

② 当 w[i] > j 时：w[i][j] = v[i-1][j] //当准备加入的新增的商品的容量大于 当前背包容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

③ 当 j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]} //当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量 装入策略：

v[i-1][j]:就是上个单元格的转入的最大值

v[i]: 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]]: 转入i-1商品，到剩余空间j-w[i] 的最大值

当 j>=w[i]时：v[i][j]=max{v[i-1][j],v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

3.代码实现

/** 背包问题
 * @author feng
 * @create 2022-03-21 6:43
 */
public class knapsackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1,4,3}; //物品的质量
        int[] val = {1500,3000,2000}; //物品的价值，这里的val[i]  就是前面将的v[i]
        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数


        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中最大价值
        int[][] v = new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列，这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
        for(int i = 0;i < v.length;i++){
            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
        }
        for(int i = 0; i < v[0].length;i++){
            v[0][i] = 0; //将第一行设置为0
        }
        //根据前面得到的公式来动态规划处理
        for (int i = 1; i < v.length; i++) {//不能处理第一行 i是从1开始的
            for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列 j从1开始的
                //公式
                if(w[i-1] > j){ //因为我们程序i 从1开始，因此原来的公式中w[i] 改写为 w[i-1]
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                }else{
                    //因为我们程序i 从1开始，因此原来的公式中w[i] 改写为 w[i-1] val 修改为 val[i]
//                    v[i][j] = Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来处理
                    if(v[i-1][j] < val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]){
                        v[i][j] = val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];
                        //把当前的情况记录到path
                        path[i][j] = 1;
                    }else{
                        v[i][j] = v[i-1][j];
                    }
                }

            }
        }

        //输入一下v 看看目前的情况
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        //输入最后我们放入的哪些商品
        //遍历path，这样输出会把所有的放入情况都得到，其实我们只需要最后的放入情况
//        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
//                System.out.printf("第%d个商品放入背包\n",i);
//            }
//        }

        //动脑筋
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
        while(i > 0 && j > 0){ //从path数组的最后开始找
            if(path[i][j] == 1){
                System.out.printf("第%d个商品放入背包\n",i);
                j -= w[i-1]; //w[i-1]
            }
            i--;
        }

    }

}