二叉树概念及其遍历

结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

1.树

树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、......、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：
图为一棵普通的树：

1.1 节点的度

一个节点含有的子树的个数称为该节点的度

1.2 结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
上图中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
上图中，结点B与结点C互为兄弟结点。

1.3 结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

1.4 树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。上图所示树的深度为4。

 

2 二叉树

2.1.定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

下图展示了一棵普通二叉树：

2.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

2.3 二叉树性质

2.4 斜树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

 

左斜树

 

 

右斜树

 

2.5 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

 

2.6 完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
下图展示一棵完全二叉树

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

 

2.7 二叉树的遍历

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种：

前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历

• 前序递归遍历算法：访问根结点-->递归遍历根结点的左子树-->递归遍历根结点的右子树
•  中序递归遍历算法：递归遍历根结点的左子树-->访问根结点-->递归遍历根结点的右子树
•  后序递归遍历算法：递归遍历根结点的左子树-->递归遍历根结点的右子树-->访问根结点

现有一颗如下图所示的二叉树：

• 前序遍历：先访问根节点，再访问左子节点，最后访问右子节点。上图中的二叉树的前序遍历的顺序是1,2,4,5,8,9,10,3,6,7
• 中序遍历：先访问左子节点，再访问根节点，最后访问右子节点。上图中的二叉树的中序遍历的顺序是4,2,8,5,9,10,1,6,3,7
• 后序遍历：先访问左子节点，再访问右子节点，最后访问根节点，上图中的二叉树的后序遍历的顺序是4,8,10,9,5,2,6,7,3,1

二叉树节点的定义：

package com.wedoctor;

public class BinaryTreeNode {
    int data;
    BinaryTreeNode left;
    BinaryTreeNode right;

    BinaryTreeNode (int x) {
        data= x;
    }

    public BinaryTreeNode(int data, BinaryTreeNode left, BinaryTreeNode right) {
        this.data = data;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }

    public int getData() {
        return data;
    }

    public void setData(int data) {
        this.data = data;
    }

    public BinaryTreeNode getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(BinaryTreeNode left) {
        this.left = left;
    }

    public BinaryTreeNode getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(BinaryTreeNode right) {
        this.right = right;
    }
}

遍历实现代码： 

package com.wedoctor;

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class BinaryTree {

    public static void main(String[] args) {

        BinaryTreeNode node10=new BinaryTreeNode(10,null,null);
        BinaryTreeNode node8=new BinaryTreeNode(8,null,null);
        BinaryTreeNode node9=new BinaryTreeNode(9,null,node10);
        BinaryTreeNode node4=new BinaryTreeNode(4,null,null);
        BinaryTreeNode node5=new BinaryTreeNode(5,node8,node9);
        BinaryTreeNode node6=new BinaryTreeNode(6,null,null);
        BinaryTreeNode node7=new BinaryTreeNode(7,null,null);
        BinaryTreeNode node2=new BinaryTreeNode(2,node4,node5);
        BinaryTreeNode node3=new BinaryTreeNode(3,node6,node7);
        BinaryTreeNode node1=new BinaryTreeNode(1,node2,node3);

        BinaryTree tree=new BinaryTree();

        /**
         * 前序遍历
         */
        
        //采用递归的方式进行遍历
        System.out.println("-----前序遍历------");
        tree.preOrder(node1);
        
        //采用非递归的方式遍历
        tree.preOrderNonRecursive(node1);

        /**
         * 中序遍历
         */

        //采用递归的方式进行遍历
        System.out.println("-----中序遍历------");
        tree.inOrder(node1);
        
        //采用非递归的方式遍历
        tree.inOrderNonRecursive(node1);

        /**
         * 后序遍历
         */
        
        //采用递归的方式进行遍历
        System.out.println("-----后序遍历------");
        tree.postOrder(node1);
        
        //采用非递归的方式遍历
        tree.postOrderNonRecursive(node1);

        /**
         * 层序遍历
         */
        
        //采用递归的方式进行遍历
        System.out.println("-----层序遍历------");
        tree.levelOrder(node1);
       
    }

    //前序遍历递归的方式
    public void preOrder(BinaryTreeNode root){
        if(null!=root){
            System.out.print(root.getData()+"\t");
            preOrder(root.getLeft());
            preOrder(root.getRight());
        }
    }

    //中序遍历采用递归的方式
    public void inOrder(BinaryTreeNode root){
        if(null!=root){
            inOrder(root.getLeft());
            System.out.print(root.getData()+"\t");
            inOrder(root.getRight());
        }
    }

    //后序遍历采用递归的方式
    public void postOrder(BinaryTreeNode root){
        if(root!=null){
            postOrder(root.getLeft());
            postOrder(root.getRight());
            System.out.print(root.getData()+"\t");
        }
    }

    //前序遍历非递归的方式
    public void preOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root){
        Stack stack=new Stack();
        while(true){
            while(root!=null){
                System.out.print(root.getData()+"\t");
                stack.push(root);
                root=root.getLeft();
            }
            if(stack.isEmpty()) break;
            root=stack.pop();
            root=root.getRight();
        }
    }

    //中序遍历采用非递归的方式
    public void inOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root){
        Stack stack=new Stack();
        while(true){
            while(root!=null){
                stack.push(root);
                root=root.getLeft();
            }
            if(stack.isEmpty())break;
            root=stack.pop();
            System.out.print(root.getData()+"\t");
            root=root.getRight();
        }
    }

    //后序遍历采用非递归的方式
    public void postOrderNonRecursive(BinaryTreeNode root){
        Stack stack=new Stack();
        while(true){
            if(root!=null){
                stack.push(root);
                root=root.getLeft();
            }else{
                if(stack.isEmpty()) return;

                if(null==stack.lastElement().getRight()){
                    root=stack.pop();
                    System.out.print(root.getData()+"\t");
                    while(root==stack.lastElement().getRight()){
                        System.out.print(stack.lastElement().getData()+"\t");
                        root=stack.pop();
                        if(stack.isEmpty()){
                            break;
                        }
                    }
                }

                if(!stack.isEmpty())
                    root=stack.lastElement().getRight();
                else
                    root=null;
            }
        }
    }


    //层序遍历
    public void levelOrder(BinaryTreeNode root) {
        BinaryTreeNode temp;
        Queue queue = new LinkedList();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            temp = queue.poll();
            System.out.print(temp.getData() + "\t");
            if (null != temp.getLeft())
                queue.offer(temp.getLeft());
            if (null != temp.getRight()) {
                queue.offer(temp.getRight());
            }
        }
    }
}