【9】圆锥曲线

定义9.1 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，称为抛物线(Parabola)。称点为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线。
(1) 如图9.1.1，取定点为，直线为，求到点与到距离相等的点的轨迹方程。

图9.1.1 抛物线

(2) 设点在图9.1.1的抛物线上，求经过点的切线的方程。并证明：是的角平分线。
(3) 一个凹镜面的对称轴截面线是焦点为的抛物线，如图9.1.2，试证明：平行于对称轴的入射光，被镜面反射后经过焦点。

图9.1.2

题9.2 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过上一点(异于)作的切线，与轴交于点.若，则向量 的数量积为____________. (2021全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛第6题)。

定义9.3 到两定点的距离和等于定长的点的轨迹，称为椭圆，称为焦点。
(1) 如图9.3.1，设为动点且满足：。由定义知，点的轨迹是椭圆。
设图中的椭圆与正轴相交于点，则点的坐标为___________。
设图中的椭圆与正轴相交于点，证明：。

图9.3.1 椭圆

(2) 依据(1)，定义了点 ，我们以后称 为椭圆的长轴， 为椭圆的短轴，请指出图中椭圆长轴与短轴的位置，说明其几何性质，并证明椭圆的方程为： 。

(3) 证明：点的法线平分。这说明光线从一个焦点发射，经椭圆面反射后，汇聚到另一个焦点。
(1) 解 的坐标为。
如图9.3.2，连接，因为，所以，在中，利用勾股定理即得结论。

图9.3.2

(2) 证明 设，依据题意：

移项

两边平方
展开

消项、整式、根式分开、整理：
两边平方：
移项整理：
利用，得，即：

(3) 如图9.3.4，设点(的情况简单)的切线为：
移项得：

作点的法线与横坐标相交于点，连接。

图9.3.4

利用(9.3.3)与柯西不等式，得到：

上式等号成立的几何条件是 与椭圆相切，其代数条件为： ，整理得：

此时， ，所以椭圆在点 切线斜率为

根据法线的定义， ，所以直线 的方程为：

从而点 的坐标为
所以：
另一方面：

同理：

最后：

根据角平分线定理知： 平分 ，命题得证。

题9.4 如图9.4.1，是笔直的公路，是两个村庄。顺丰快递在高速路建设一个快递站，要求到的距离和到的距离和最短。

图9.4.1

(1) 请使用尺规作图法给快递站选址。
(2) 若以 为焦点的椭圆与直线 相切，证明：切点为顺丰快递站。

(1)作图 如图9.4.2，按如下步骤作图：
a) 作点关于直线的对称点。
b) 连接，设直线与直线相交于点，那么就是要求的快递站。

图9.4.2

证明 如图9.4.2，在直线上取异于点的点，根据轴对称性质，有

即：是到两个村庄距离和最小的快递站。

(2) 设，以此作为长轴作椭圆。根据椭圆切线的几何性质知，直线是椭圆的切线，其切点为。

题9.5 已知抛物线，直线过点且与相切，求的方程。
解 分两种情况讨论：(1) 垂直，此时与相切。
(2)否则，设的方程为，联立方程组：

消去得的二次方程：，由相切条件得：
，解得，所以，此情况。
综上所述，的方程为或。

题9.6 是椭圆上的点，是直线上的点，求线段的最小值。

题9.7 如图9.7.1，二次曲线上两点及线段的中点为，过点作直线与曲线交于。设，求证：

图9.7.1

证明 以 为原点， 为横坐标建立平面直角坐标系，并设
其中 。

图9.7.2

不是一般性，设 的曲线方程为：
根据已知条件知，关于 的方程 的两个根为 ，即方程：
的两根为 ，根据韦达定理， ,即
两直线 的方程可以表示为：
它与 的交点为 ，所以直线 的方程可以表示为：
所以， 的横坐标为方程： 的两根，
根据韦达定理知， 中点为 ，即得

定义9.8 到两定点的距离差等于定值的点的轨迹，称为双曲线，称为焦点。
(1) 如图9.8.1，设为动点且满足：。由定义知，点的轨迹是双曲线。
设图中的双曲线与正轴相交于点，则点的坐标为___________。
设图中的双曲线与正轴相交于点，证明：。

图9.8.1

(2) 依据(1)，定义了点 ，我们以后称 为双曲线的实轴， 为双曲线的虚轴，请指出图9.8.1中实轴与虚轴的位置，说明其几何性质，并证明双曲线的方程为： 。

(3) 为双曲线上的点，证明：点的切线平分。这说明光线从一个焦点发射，经双曲面反射后，反射光的反向延长线过另一个焦点。

(4) 比较抛物线、椭圆、双曲线的光学性质，总结其异同。

题9.9 已知直线与双曲线交于不同的两点。
(1) 求参数的取值范围。
(2) 若以为直径的圆经过坐标原点，求该圆的半径。