素数的欧拉筛

理论基础

概念

“质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。”
“合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。”
1既不是质数也不是合数.
在大于1的数的范围内,那么如果我们要找质数,那么只需要找到合数,然后将合数去掉,那么便只有质数.
注意,此篇文章所说因数不包括1和其本身.

基础:埃式筛

由于定义,合数可以分解为因数相乘.容易知道,这个因数必定比合数小.因此我们只要在从小到大遍历数字的时候,遍历到这个数字之前一定会经过它的质数.故如果我们在遍历每个数字的时候将它的倍数的数字都删掉,就必定会删去所有的合数,从而留下质数.当我们遍历到这个数字的时候,如果它还没有被筛过,那么这个数就是质数.这就是埃式筛.但是埃式筛对有些数字筛选次数比较多,没有必要.
接下来进行优化.

埃式筛的优化:欧拉筛

合数必定能被分解为质因数//原因:假如有一个合数,那么它必定拥有因数,如果因数有一个为合数,那么该合数一定能继续分解为两个因数相乘,直到分解到不可以再分解为止.因此合数一定可以分解为一个比他小的质数乘一个比他小的数字.即分解到一个质数和一个比他小的数字相乘,那么如果我们在遍历数字时,(从2,3,4等等)去掉这个数字之前的质数的倍数,那么必定可以在遍历到合数之前筛掉该合数.

板子题：【模板】线性筛素数

题目背景

本题已更新，从判断素数改为了查询第 $k$ 小的素数
提示：如果你使用 cin 来读入，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速。

题目描述

如题，给定一个范围 $n$，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

100 5
1
2
3
4
5

样例输出 #1

2
3
5
7
11

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$n=10^8$，$1\le q\le 10^6$，保证查询的素数不大于 $n$。

Data by NaCly_Fish.

板子

#include
using namespace std;
int     MAX = 10000 * 10000;
//是否被筛掉
int n, q, k;
int main(void)
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	int maxn;
	cin >> maxn >> q;
	int prime[MAX];
	bool vis[MAX];
	for (int i = 2; i < maxn; i++)
	{
		if (vis[i] == 0)
			prime[n++] = i;//如果没有被筛掉，那么为质数
		//这步结束后，n代表现在找到的质数个数
		for (int j = 0; j < n && i * prime[j] < MAX; j++)
		{//从第一个质数到已经找到的质数开始遍历j < n 
		//i* prime[j] < MAX 因为要找的是2到MAX的质数，因此如果大于MAX没有意义，不需要划掉
			vis[i * prime[j]] = true;//划掉i与现在对应质数的乘积
			if (i % prime[j] == 0)//如果现在遍历到的数字是质数的倍数
				//如现在i等于9 prime【j】对应为3，那么跳出循环，9乘5=3*15
				//那么i=prime【j】*k；k等于1，2，3等
				// 如果循环继续，那么下一步划掉i*prime【j+1】=prime【j】*k*prime【j+1】
				// 第一个质数为2，k*prime【j+1】一定比prime【j】大，因此下一步划掉的合数一定在划掉划掉
			{
				break;
			}
		}
	}
	while (q--)
	{
		cin >> k;
		cout << prime[k-1] << endl;//输出第k个素数
	}
}