常微分-----一阶非线性微分方程

一阶非线性微分方程

可分方程(Separable Equation)

可分方程一般都有如下形式
$$x^{\prime }(t)=h(t)g(x)$$
且有h(t)是连续的，g(x)是连续可微的

 

解可分方程思路

解可分方程思路一般为两大块-------求常数解和求非常数解

且要注意的是，常数解和非常数解代表的曲线不相交

一般会先求出常数解，从而求出非常数解的区间，如果有初值，或者给出图上一个点，就可以确定此非常数解的曲线在哪个区间

 

求常数解

我们已知x是关于t的函数，当k是微分方程的一个常熟解时，有$x(t)=k$

$x^{\prime }(t)=0$,此时当且仅当$g(k)=0$时，微分方程成立

 

那么当$g(x)\ne 0$时，此时方程有非常数解。

求非常数解

$$\frac{x^{\prime }(t)}{g(x(t))}=h(t)$$

$$\int \frac{x^{\prime }(t)}{g(x(t))}dt=\int h(t)dt$$

$$\int \frac{dx}{g(x)}=\int h(t)+c$$

当解中带有绝对值时，我们可以通过求常数解来确定x的范围，从而去绝对值，求出在此区间上的解。

 

恰当方程（Exact Equation）

假设有一个微分方程$F(x,y)$,有方程对x的偏导$F_x(x,y)$和关于y的偏导$F_y(x,y)$

关于x的偏导写作$M(x,y)$,y的偏导为$N(x,y)$。

$F_x(x,y)=M(x,y),F_y(x,y)=N(x,y)$

此时
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
方程有$M_y=N_x$恒成立。

解法一（M，N分别求原函数）

我们知道，$M(x,y)$关于x的原函数和$N(x,y)$关于y的原函数都是$F(x,y)$

根据做题经验，我们可以分别求出M，N的原函数。

M的原函数加常数解项$c_1$($c_1$中可以包含y)

N的原函数加常数解项$c_2$($c_2$中可以包含x)

令两式相等，我们可以得出$c_1,c_2$的值，从而求出恰当方程$F(x,y)$。

 

解法二（M或N求原函数）

$$F(x,y)=\int M(x,y)dx+h(y)$$

$$F_x(x,y)=M(x,y)$$

$$F_y(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M(x,y)dx\right)+h^{\prime }(y)$$

$$h^{\prime }(y)=N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M(x,y)dx\right)$$

如此，我们可以求出h(y)的值，从而求出$F(x,y)$

 

解法三（作图）

$$F(x,y)={\int }_{x_0}^{x}M(s,y)ds+{\int }_{y_0}^{y}N\left(x_0,s\right)ds$$

其中有两种解法，一种是先对x积分，后对y积分。

积分路径为$(x_0,y_0)->(x,y_0)->(x,y)$

另一种是先对y积分，后对x积分。

积分路径为$(x_0,y_0)->(x_0,y)->(x,y)$

 

其中积分路径的起点我们可以根据方程的特点，选取最容易计算的对应点

例如存在$lnx$时我们不妨设x为1，但一般情况下我们都设积分路径的起点为(0,0)

 

积分因子

简单说，有形式为$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$的方程。但是此方程不是恰当方程（$M_y\ne N_x$）

此时我们令方程的每一项都同时乘一个式子$\mu$，$\mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0$从而使整个方程为恰当的，我们称作这个式子$\mu$为积分因子。

例如有方程$ydx-xdy=0$可知此方程不恰当,如果我们在方程的每一项同时乘以$\frac{1}{y^2}$,此时方程为$\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy=0$,此时方程为恰当方程。从而可以根据求解恰当方程的解法去求解。

 

寻找积分因子

我们发现如果直接让我们找一个完整的积分因子$\mu (x,y)$是困难的，不妨先去寻找可以使方程恰当的$\mu (x)$或者$\mu (y)$
$$\mu (x)M(x,y)dx+\mu (x)N(x,y)dy=0$$

$$\mu (y)M(x,y)dx+\mu (y)N(x,y)dy=0$$

因为方程是恰当的，满足$M_y=N_x$即$\frac{\partial }{\partial y}(\mu (x)M(x,y))=\frac{\partial }{\partial x}(\mu (x)N(x,y))$

可得 $M_y(x,y)={\mu }^{\prime }(x)N(x,y)+\mu (x)N_x(x,y)$化简可得$\frac{{\mu }^{\prime }(x)}{\mu (x)}=\frac{M_y(x,y)-N_x(x,y)}{N(x,y)}$

我们令$\frac{{\mu }^{\prime }(x)}{\mu (x)}=\Psi$即$\Psi =\frac{M_y(x,y)-N_x(x,y)}{N(x,y)}$那么求解我们得到的ODE：$\mu (x)=c{e}^{\int \Psi (x)dx}$

 

同理，如果设积分因子为$\mu (y)$得到的结果为$\Psi =\frac{N_x(x,y)-M_y(x,y)}{N(x,y)}$,$\mu (y)=c{e}^{\int \Psi (y)dy}$

 

当然，如果想求出$\mu (x,y)$，满足$M_y=N_x$可得
${\mu }^{\prime }(x,y)M(x,y)+\mu (x,y)M_y(x,y)={\mu }^{\prime }(x)N(x,y)+\mu (x)N_x(x,y)$ 化简可得$\Psi =\frac{N_x(x,y)-M_y(x,y)}{M(x,y)-N(x,y)}$,但明显，求单变量的积分因$\mu (x),{\mu }_{(}y)$子比求双变量的积分因子$\mu (x,y)$简单得多。

因此在找积分因子时，我们通常根据方程去寻找单变量积分因子$\mu (x),{\mu }_{(}y)$

齐次方程

有齐次方程$x^{\prime }=f(t,x)$,$f(t,x)$表示为关于$\frac{x}{t}$的方程。

例如$x^{\prime }=\frac{x^3+t^3}{t{x}^2},t\ne 0$是齐次的，$x^{\prime }=x^2\sin t$是非齐次的。

 

因此，齐次方程的形式为
$$x^{\prime }=x^2\sin t$$
它可以通过改变未知量$x=tz$,使其而转化为一个可分方程
$$x^{\prime }=(tz{)}^{\prime }=z+t{z}^{\prime }=g(z)$$

$$t{z}^{\prime }=g(z)-z$$

$$\frac{z^{\prime }}{g(z)-z}=\frac{1}{t}(可分方程)$$

z是关于t的函数，如此用可分方程的方法求解即可。

 

伯努利方程

伯努利方程有如下形式$x^{\prime }+p(x)x=q(t)x^{k+1}$因为$p(t),q(t)$都是连续的，所以我们只考虑$x^{k+1}$使方程有意义的解。

对于
$$x^{\prime }+p(t)x=q(t)x^{k+1}$$
令$z=x^{-k}$使转化为线性方程。

注意：当$k=0,-1或q(t)=0$时，伯努利方程是线性方程

分别为$x^{\prime }+p(t)x=q(t)x$,$x^{\prime }+p(t)x=q(t)$,$x^{\prime }+p(t)x=0$

 
$$z^{\prime }=-k{x}^{\prime }{x}^{-(k+1)}=-k{x}^{-(k+1)}(-p(t)x+q(t)x^{k+1}=kp(t)x^{-k}-kq(t)=kp(t)z-kq(t)$$
带入方程中仍然可以将其当作一个可分方程去求解。