数论 | 容斥原理

$|S_1\cup S_2\cup S_3|=|S_1|+|S_2|+|S_3|-|S_1\cap S_2|-|S_1\cap S_2|-|S_1\cap S_3|-|S_2\cap S_3|+|S_1\cap S_2\cap S_3|$

时间复杂度：$O(2^n)$
$$C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^n=2^n-C_n^0=2^n-1$$

能被整除的数

暴力枚举的时间复杂度：$O(nm)$

容斥原理求解：

• 求 $|S_i|$，即 能被 i 整除的元素个数。
• 问题就转化成了求 $|S_i\cup ...\cup S_j|$，可用容斥原理求解。
• 求 $|S_p|$ ：$\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$
• 时间复杂度：$O(2^m\times m)$
• 可以用二进制数表示选法

#include 
using namespace std;

typedef long long LL;
int n, m;
const int N = 18;
int p[N];
LL res;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i=0; i<m; i++) {
        cin >> p[i];
    }
    // 遍历所有状态
    for(int i=1; i<1<<m; i++) {
        LL t=1;  // 记录乘积
        int cnt=0;  // 统计1的个数 
        for(int j=0; j<m; j++) {
            if(i>>j & 1) {
                t *= p[j];
                cnt++;
                if(t > n) {
                    t = -1;
                    break;
                }
            }
        }
        if(t != -1) {
            if(cnt%2 == 1)  res += n/t;
            else  res -= n/t;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}