【数论】—— 多边形数的计算（三角形数，五边形数）

1. 和式

• 1+3+5+⋯+(2n−1)=n2 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2

2. 五边形数（pentagonal number）

五边形数的几何形式如下：

如何计算 P100 P 100 ？

将各个图形中的点拆分成如下左右两个部分：

• P1=0+1 P 1 = 0 + 1
• P2=1+(1+3) P 2 = 1 + ( 1 + 3 )
• P3=(1+2)+(1+3+5) P 3 = ( 1 + 2 ) + ( 1 + 3 + 5 )
• P4=(1+2+3)+(1+3+5+7) P 4 = ( 1 + 2 + 3 ) + ( 1 + 3 + 5 + 7 )
• ⋯ ⋯

所以有：

Pn====Pleft+Pright(1+2+3+⋯+n−1)+(1+3+5+⋯+2n−1)(n−1)(1+n−1)2+n2n(3n−1)2 P n = P l e f t + P r i g h t = ( 1 + 2 + 3 + ⋯ + n − 1 ) + ( 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2 n − 1 ) = ( n − 1 ) ( 1 + n − 1 ) 2 + n 2 = n ( 3 n − 1 ) 2

判断一个数是不是五边形数：How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?