定理13.1
证明 a) 当时，命题显然成立。
b) 当时, 取满足，令，当时，
所以
又由的选取，得
由(13.1.1)及(13.1.2)得：，所以，此式对任意的自然数成立，所以。
c) 当时，令，则
综合a),b),c)，命题成立。
评注13.2 在未学习指数与对数函数之前，题13.1不能使用指数(对数)不等式。
定理13.3
证明 令，显然，而且
因为，所以。
题13.4 证明：
(1) ,则
(2) ,则
证明 (1) 证法1：
构造函数，则，则，所以，即当时，，这等价于
根据(13.4.1)，命题得证。
(1)证法2 令。取,则
可见为减函数。其余部分与证法1一致。
(2) 原不等式等价于
对求导，
根据(1)，有，所以，于是：
，所以。最终，从而证明了原命题。
定义13.5
a) ，称集合为开区间，记为。
b) ，称集合为闭区间，记为。
c) ，称集合为左开右闭区间，记为。
d) ，称集合为左闭右开区间，记为。
题13.6 。
(1) 求所有的并。
(2)证明：
(1) 解 很明显，，所以。
(2) 假设，不妨设，则对于任意的，若，有。
取正整数，则，并得。这说明，矛盾。所以假设不成立，命题成立。
定义13.7 包含实数的开区间，称作的邻域，如果是的邻域，集合称作的去心邻域。
题13.8
(1) ，证明：是的邻域。并用区间的形式写出其去心邻域。
(2) 是开区间里的元素，证明：存在的邻域且
证明 (1)略。
(2) 设，根据条件，有，取，则，令，那么满足条件，证明完毕。
题13.9 设，
(1) ，求的取值范围。
(2) 证明：当时，是闭区间。
(1) 解 等价于：对于任意的自然数，，即
当时，，而，所以
的最小值为0。经验证，当时，。所以的取值范围是。
(2) 证明：只需证明，过程如下：
设，那么，即
上式说明：。
即，所以：
取，则，于是得
，所以是闭区间。
定义13.10 (1) ,,函数在的一个去心邻域有定义，如果对于任意正数，存在一个正数，当时，，则称为在趋近时的极限，记为：
或
(2) ,,函数在某个以为下确界的开区间内有定义，如果对于任意正数，存在一个正数，当时，，则称为当由右趋近的极限，简称右极限，记为：
或
(3) ,,函数在某个以为上确界的开区间内有定义，如果对于任意正数，存在一个正数，当时，，则称为当由左趋近的极限，简称左极限，记为：
或
为了叙述的方便，一般用定语“在处”，比如读作"在处的左极限"，等等。
(4) ，函数在区间有定义，如果对于任意正数，存在一个正数，当时，，则称为当趋近的极限，记为：
或
(5) ，函数在区间有定义，如果对于任意正数，存在一个正数，当时，，则称为当趋近的极限，记为：
或
定理13.11 在处有极限当且仅当在处的左右极限存在且相等。
证明 1)先证明必要性：
设，取，存在，当时，成立：。
由此得，当：或任何一个成立时，都有：。
所以
2)再证明充分性：
设，取，则必有，
取，得，所以。
推论 当且仅当
定理13.12 ，那么：
(1)
(2)
(3)
(这个证明可以参照数列极限的运算)
题13.14 求极限：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解 (1)
(2)
(3) 取弧度且是锐角，那么，除以得：，取极限：
由夹逼原理得。
(4) 对每个，取自然数满足，那么，所以，所以：
所以。
(5) 令，那么
定理13.15
定理13.16
证明见3.14-(3)
定理3.17 的定义域为。
证明 本命题等价于：幂级数
对于任意的收敛。
a) 当时，总有一个整数，于是可以利用以下缩放：
可见，级数(3.17.1)上有界且递增，所以级数(3.17.1)收敛。
b) 当时，根据a)的结论，(3.17.1)绝对收敛，所以其本身也收敛。
综a),b)所述，对于任意的，(3.17.1)收敛，所以的定义域为。
定义13.18 对于任意的，定义函数
为以为底的指数函数，因为自变量为实数，所以此函数为实变量指数函数。
定理3.19
证明 根据定义13.18，容易验证如下：
a) 当时，
b)
根据a)，当时，有，再利用b)：
c)
a),c)
定义3.20 (1)，实值函数在E上有定义，若对于任意的，，称在E中是单调递增函数，简称是E上的增函数。
(2)，实值函数在E上有定义，若对于任意的，，称在E中是单调递减函数，简称是E上的减函数。
定理3.21 (1)函数在上递增，当且仅当。
(2)函数在上递减，当且仅当。
定理3.22 函数在上是增函数。
证法1 注意到时，，所以对于任意的，有
故而在上递增。
证法2 求导，即的导函数在上大于零，所以在上单调递增。
定理3.23
证明 当是，。所以当时，，取极限得：
利用夹逼定理：