证明之根号2的无理性

根号2的无理性

反证法的力量：证明$\sqrt{2}$是无理数的奇妙之旅

我在上一个系列中说到，一个数如果可以写成分数p/q（其中p和q是整数）的形式则称为有理数，若不可以则称为无理数。数学中一条著名的证明表明了$\sqrt{2}$是无理数。这项证明阐释了反证法这种技术，即通过推出矛盾来证明。
这样的证明以假设要证的结论为假开始。这看似有点奇怪，但其实我们在日常对话中经常用到这一技巧。如果你去警局报案，声称目睹了一辆车被人故意破坏，别人指控你自己就是破坏者，那你很可能说：“如果是我干的，那我根本不可能以这种方式让自己成为目标。”你暂且采纳了你就是破坏者的（非真）假设，以此来说明这是多么荒唐。

反证法证明$\sqrt{2}$为无理数：逻辑推理中的荒诞与确定

我们要去证明$\sqrt{2}$是无理数，那就先假设它是有理数，再来表明这一假设会引出荒诞的结论。我在下面将按步骤写出证明，给出比较多的细节，很多读者也许并不需要这么多。
1.如果$\sqrt{2}$是有理数，那么我们可以找到整数p和q使得何$\sqrt{2}$=p/q（由“有理数”的定义）。
2.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s，r和s不全是偶数。（分子分母连续除以2，直到其中至少有一个变成奇数。
例如分数1412/1000等于706/500等于353/250。）
3. 因此，如果$\sqrt{2}$是有理数，我们就可以找到两个不全为偶数的整数r和s使得$\sqrt{2}$=r/s。
4. 如果$\sqrt{2}$=r/s,则2=$r^2/s^2$(等式两端平方)。
5. 如果2=$r^2/s^2$,则$2s^2=r^2$(等式两端乘以s^2)。
6. 如果$2s^2=r^2$，则$r^2$是偶数，即r必须是偶数。
7. 如果r是偶数，那么存在某个整数t使得r=2t（由“偶数”的定义）。
8. 如果$2s^2=r^2$且 r=2t，则$2s^2=(2t{)}^2=4t^2$，于是得到$s^2=2t^2$（两端除以2）。
9.如果$s^2=2t^2$，那么$s^2$是偶数，意味着s是偶数。
10.按照$\sqrt{2}$是有理数的假设，我们已经表明$\sqrt{2}=r/s$，r和s不全是偶数（第3步）。我们之后又得到r是偶数（第6步），s是偶数（第9步）。这是一个明显的矛盾。因为$\sqrt{2}$是有理数的假设会推出明显错误的结论，所以这个假设本身必定是错误的。因此，$\sqrt{2}$是无理数。

以上我尽可能使每一步推导都做到明显有理有据，从而使结论无可反驳。但是，我真的完全没有给怀疑留下余地吗？若有人愿意跟你打赌，如果找不到两个整数p和q使得$p^2=2q^2$就给你一万英镑，但如果找到了就处死你，那你愿意接受挑战吗？如果你愿意，又是否会有一点点的不安呢？

反证法在证明中的完备性与奇数性质的论证

第6步中包含了$r^2$是偶数则r必定是偶数的论断。这看起来相当明显（奇数乘以奇数是奇数），但如果我们要想使是无理数这一命题绝对确定无疑，或许可以再加强一些。让我们把它分解成五个子步骤：
6a. r是整数，$r^2$是偶数。我们要表明r必定也是偶数。让我们假设r是奇数，然后寻求矛盾。
6b. 因为r是奇数，所以存在整数t使得r=2t+1。
6c. 于是推出$r^2=(2t+1{)}^2=4t^2+4t+1$。
6d. 但是$4t^2+4t+1=2(2t^2+2t)+1$，这是奇数，与$r^2$是偶数的事实矛盾。
6e. 因此r是偶数。
现在步骤6完全滴水不漏了吗？可能还没有，因为子步骤6b仍需要证明。毕竟，奇数的定义仅仅是非2的倍数的整数。为什么每个整数要么就是2的倍数，要么就比2的倍数多1呢？我们可以用以下论据来证明。
6b1. 如果某个整数r是2的倍数，或者比2的倍数多1，我们就称它为一个好数。如果r是好数，则r=2s或r=2s+1，其中s也是整数。如果r=2s，则r+1=2s+1；如果r=2s+1，则r+1=2s+2=2(s+1)。不管是两种情况中的哪一种，都有r+1也是好数。
6b2. 1是好数，因为0=0×2是2的倍数，且1=0+1。
6b3. 重复利用6b1这一步，我们可以推出2是好数，然后3是好数，然后4是好数，等等等等。
6b4. 因此，所有正整数都是好数，这正是我们要证明的结论。

数学归纳法的力量：从步骤到子步骤，理解论证的完备性与终止性

我们现在完成了吗？大概这一回最不牢靠的步骤要数6b4了，因为它是从前一步“等等等等”这样十分模糊的字眼中得到的。步骤6b3告诉我们怎样去表明任意给定的正整数n是好数。但麻烦在于，若按照上面的论证，我们需要从1一直数到n，如果n很大的话，这就要花很长时间。如果我们想要说明所有正整数都是好数，情况就更糟糕了，看起来这样的论证似乎永无结束之日。
但另一方面，鉴于步骤6b1到6b3实实在在、确切无疑地给我们提供了一种方法，能够说明任意的n都是好数（只要我们有时间），这一反对意见看起来就不合理。实际上它是如此不合理，以至于数学家们采纳了下述原则作为一条公理。
假设关于任意正整数n有一陈述s（n）。（在我们的例子中，s（n）即表示陈述“n是好数”。）如果s（1）为真，而且s（n）为真总蕴含s（n+1）为真，那么s（n）对任意n都真。
这就是数学归纳法原理，熟悉它的人也简称它为归纳法。通俗地讲，它所说的其实就是，如果你有一列无穷多的陈述序列想要证明，那有一种办法：证明第一条为真，并且每一条都蕴含下一条。
上述几段内容说明了，数学论证中的每一步都可以分解成更小的，因而也更加清晰有据的子步骤。这些子步骤又可以进一步分解为子子步骤，等等。数学中有个根本性的重要事实，那就是这样的过程最终必然会终止。原则上，如果不断地将步骤分解为更小的步骤，你最终会得到一条非常长的论证，它以普遍接受的公理开始，仅通过最基本的逻辑原则（例如“若A为真且A蕴含B，则B为真”）一步步推进，最终得到想要求证的结论。

“20世纪早期的重要发现：数学证明有效性的争论总是能够解决”

上一段中我所说的远非显然：事实上，这正是20世纪早期的重要发现，很大程度上归功于弗雷格、罗素和怀特海。这一发现对数学产生了深远的影响，因为它意味着，任何关于数学证明有效性的争论总是能够解决的。而在19世纪，与此形成对比的是，的确存在着关于数学实体问题的真正分歧。譬如，现代集合论之父格奥尔格•康托尔，基于某个无穷集可能比另一个无穷集“更大”这样的思想提出了一些论点。今天人们已经接受了这些论点，但当时的人们却对此产生强烈的怀疑。如今，如果人们对于某个证明的正确性存在分歧，那要么是因为这个证明写得不够详细，要么是因为人们还没有付出足够努力来仔细地理解、检查这个证明。

“数学的独特性：解决争论的原则与公理的接受”

不过这并不意味着分歧永远不会出现。此如一种常见的指况，某人炮制了一篇极长的证明，在某些地方不够清楚，同时还包含许多小错误，但并非明显可见的根本性错误。要想下结论说这祥的论点是否能做到滴水不漏，通常要耗数巨大的工作量，而这样的工作却没有太高的回报。即使是提出证明的人自己可能也不愿意做，生怕会发现他的证明是错的。
虽然如此，争论在原则上必然能够解决这一事实的确使数学独一无二。没有任何一个学科像数学一样具有这一特性：有些天文学家仍然固守着宇宙的稳态理论；关于自然选择究竟有多大的解释力，生物学家各自都抱有极不同的坚定信念；关于意识与物质世界的关系，哲学家们具有根本性的分歧；经济学家也追随着观点截然相反的不同学派，如货币主义和新凯恩斯主义。
理解前面“在原则上”这个短语是很重要的。没有哪个数学家愿意费心写出证明的完整细节——从基本公理开始，仅通过最明显、最易于检查的步骤来推导出结果。即使可行，也并不必要：数学论文是写给经过严格训练的读者的，无须事无巨细详细说明。而如果某人提出一个重要的论断，其他数学家发觉难以理解其证明，他们就会要求作者详细解释。这时，把证明步骤分解为更小的、更易理解的子步骤的过程就会开始。同样因为听众都是经过严格训练的，这个过程通常不需要进行太久，只要给出了必要的解释或者发现了其中的错误就可以了。因此，对某个结果的一个证明如果的确是正确的，那几乎总会被数学家当作是正确的。
一部分读者可能会萌生这样的问题，我还未触及：为什么我们应该接受数学家提出的公理呢？比方说，如果有人反对数学归纳法原理，我们应当怎样回应呢？大多数数学家会给出如下的答复。首先，所有理解了归纳法的人应该都认为它是显然合理的。其次，公理系统的主要问题并不是公理的真实性，而是公理的自治性和有用性。数学证明实际上所做的正是要表明，由特定前提——如数学归纳法，能够得到特定的结论——如$\sqrt{2}$乏是无理数。

这些前提假设是否正确则是与此完全无关的问题，我们可以安然地把它们留给哲学家。

总结

通过上述论述，我们可以得出以下结论：

1. 数学中使用的证明方法之一是反证法，它通过假设要证明的结论为假来推导出矛盾，从而证明结论的正确性。
2. 反证法的有效性建立在数学归纳法原理的基础上，该原理要求证明第一条陈述为真，并且每一条陈述都蕴含下一条，从而保证所有正整数的陈述都为真。
3. 数学中的证明过程可以通过将每一步细分为更小的子步骤，逐步推导出结论。其他数学家可以通过理解和检查证明的子步骤来确认其正确性。
4. 数学的独特性在于其解决争论的原则和公理的接受。数学家们通常认为公理是显然合理的，并且关注公理的自治性和有用性，而不是其真实性。
5. 数学具有解决争议的能力，与其他学科相比，数学中的分歧通常可以得到解决。这使得数学成为一门独特的学科。

数学证明的有效性和解决争论的原则使得数学具有独特性和确定性。