欧拉函数及其代码实现

欧拉函数：

欧拉函数定义：欧拉函数是指对于一个正整数 n ，小于等于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n)。

例如φ(8) = 4，因为1,3,5,7均和8互质。

性质：

• 当 n 是质数的时候，显然有φ(n) = n-1.
• 规定：φ(1) =1.

但是如果数大了会特别不好求，接下来我们引出欧拉函数计算方法：

分解公式

n分解质因数后:n=p1^a1 × p2^a2 × p3^a3 … pk^ak，（其中 pi 为质数）
那么 φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) ×… ×(1 - 1/pk)

样例：

6=2*3
φ(6)=6*(1-1/2)*(1-2/3)=2

例题：

给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式
第一行包含整数n。
接下来n行，每行包含一个正整数α。
输出格式
输出共 n 行，每行输出一个正整数α的欧拉函数。
数据范围
1≤n≤100,
1≤≤2×109

输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
２
2
4

代码分析：

#include 
#include
using namespace std;

// φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) ×… ×(1 - 1/pk) 
int phi(int x){
	int res=x;//保存答案
	for(int i=2;i<=x/i;i++){// x/i 缩小范围 可以使用根号x,但是有的时候越界
		 if (x % i == 0) //可以整除 
        {
            res = res / i * (i - 1);//res = res/i × (i - 1) 与 res = res × (1 - 1/i)在数学上是等价的
            while (x % i == 0) x /= i;//除干净  质因子 
        }
		
	}
	if (x > 1) res = res / x * (x - 1);//最多存在一个大于x/i最大质因子
	return  res;
} 
	int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }
	return 0;
}
	
	

进阶算法：

给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N],cnt; //primes 存质数 
int phi[N]; //phi 存放每个点的欧拉函数值
bool st[N]; //st[i]即 i 是否为质数 

LL get_oula(int n)
{
    phi[1] = 1; //从定义出发，φ(1) = 1，最上面已经说过了
    for(int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(!st[i]) //确定是质数
        {
            primes[cnt ++ ] = i;// 注意 先存入(从0开始) 后++
            phi[i] = i - 1; //欧拉函数包括1,3的欧拉函数是2
        }
        for(int j = 0; primes[j] <= n/i; j ++ )//枚举所有存放的质数
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)  // 
            {//pj已经是i的公因子， phi(i) 已经算过了 (1-1/pj)
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            //primes[j]不是i的公因子，是primes[j] * i的公因子，需要不上primes[j]和1 - 1 / primes[j]
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1); 
        }
    }
    
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) res += phi[i];
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << get_oula(n) << endl;
    return 0;
}