年末啦！当别人抽走三等奖，你抽中一等奖的概率会变大吗？
当里郎当
只听见一阵音乐声响起
实验室里空无一人
活动室里热闹非凡
他们这是在干什么？
哦，原来是物理所的新春派对！
这种活动，自然是少不了小白的（虽然没什么才艺，但是作为观众，那绝对是说得过去的）。
小白之所以要来，除了节目很精彩以外，还有一个更重要的原因，抽奖！
引子
抽奖可是一个活动最诱人的部分，不仅奖品丰厚，而且也很考验实力（鲁迅说过，运气是实力的一部分）。虽然小白一次大奖也没中过，但是，这不妨碍他参加活动的热情！
本次抽奖规则公布如下：
奖池里有一等奖3个，二等奖5个，三等奖若干，所有参与抽奖的人员最低可以获得三等奖。四个游戏币可以抽奖一次，并且每个人只有一次抽奖机会。游戏币可以在游戏区获得。
虽然运气从不光顾小白，但是他每次都忍不住要试一试。于是乎，他开始在游戏区叱咤风云。
可是，小白一个游戏币也没得到的时候，已经有很多人在排队抽奖了。
小白的心悬到了嗓子眼，万一一等奖被抽完了怎么办？可是，他转念一想，这些先抽奖的大概率抽中的都是三等奖，那么每抽走一个三等奖，他抽到一等奖的概率就大一点。这么一来，小白反而开始暗自庆幸了。
这个时候，另一位老白同学走了过来，告诉他，其实不管抽奖顺序如何，只要抽奖的人没有公布自己抽到的结果，那么每个人抽中一等奖的概率都是一样的。
小白觉得很难理解，随着奖池里的三等奖减少，抽中一等奖的概率不就是越来越大吗？仔细一想，他才反应过来，他之所以觉得自己抽中一等奖的概率在变大，是因为他知道抽奖箱里三等奖减少了，如果每个抽奖者都公布自己的结果，那么每次都相当于对奖池进行了一次重新分配，那他抽中一等奖的概率自然就变大了。
但是对于在一旁专注玩游戏，没有看到前面抽奖结果的人来说，他们抽中一等奖的概率是均等的，这才保证了抽奖的公平性。
为了让小白更好地理解这个事情，老白给他讲了很经典的“三门问题”
换，还是不换
三门问题最初来自于一个电视节目，大意是这样的：
会场上放着三扇门，其中一扇门后面放一辆汽车，另外两扇门后面放的是山羊，参与者随机打开一扇门，如果打开的这扇门后面是汽车，那么他就可以获得这个汽车。主持人知道哪扇门后面放的是汽车。现在想象你就是这位参赛者，当你选中一扇门打开它之前，主持人决定再给你一次选择的机会。主持人打开了一扇后面放着山羊的门，那么，你要选择另外一扇门吗，还是坚持你的选择？
当老白把这个故事讲完的时候，小白陷入了沉思。
第一次选择的时候，选中汽车的概率是1/3，当一扇后面放着山羊的门被打开之后，只剩下两扇门，那么换与不换，选中汽车的概率不都是1/2吗？
但是老白告诉他，这样是不对的。
事实上，如果不换的话，选中汽车的概率还是1/3，如果换的话，选中汽车的概率就会变为2/3。
怎么会这样呢？小白冥思苦想，也得不到答案。
看着小白眉头紧锁，额头上不一会儿就涌现出豆大的汗珠，老白决定直接告诉他，事实上，我们可以把所有可能的结果列出来，这就是我们高中学过的枚举。
当主持人打开一扇后面是羊的门之后，情况就变成了这样子：
这样一来，答案就一目了然了。
可是小白不理解为什么会出现这样的矛盾呢？
这时候不妨让阿白出场。在主持人打开那扇后面放着羊的门之后，阿白来了。这时候如果让阿白选一扇门，他选中汽车的概率是多少呢？毫无疑问，是1/2。
因为阿白没有先验条件，对于他来说，摆在他面前的只有两扇门，其中一扇门后面放着一辆汽车，那他选中汽车的概率自然是1/2，可是对于小白来说，他已经做过一次选择，因此他再次选择的时候要在这个前提下考虑。
小白明白了，在遇到概率问题时，要考虑到已知的事实，在对的前提条件下分析才能得出正确的答案。
虽然经过一番分析，小白接受了换之后概率变大这个事实，但是他还是决定不换。万一换了之后，门后面是山羊，那不是血亏。尽管概率变大了，可是并不能保证换完他一定能选中汽车，因此出于这种不让自己后悔的考虑，他决定不换。
那么如果是你，你会不会换呢？
掷硬币
为了考察小白是否真的理解了这种反直觉的问题，老白又给他出了一题：
连续掷两次硬币，已知其中一次是正面朝上，那么另外一次也是正面朝上的概率有多大？
小白不假思索地就要给出1/2的答案，可是转念一想，老白既然这样问了，那这道题肯定存在猫腻。于是小白利用刚才使用过的枚举法，把所有情况都列了一遍：
没错，已知一次正面朝上的话，那另一次也正面朝上的概率就是1/2，于是他很开心地给出了答案，还附上了自己的分析。
可是老白听后只是笑了笑，回答了两个字：错了。
小白一头雾水，想不明白错在了哪里。
老白说，我把题目稍微改一下，你再来看：
连续掷两次硬币，已知第一次是正面朝上，那么第二次也是正面朝上的概率有多大？
这个问题毫无疑问答案就是1/2，因为第一次的结果对第二次完全没有影响，两次掷硬币是完全独立的，那掷一次硬币正面朝上的概率就是1/2。
那么最初的问题答案为什么不是1/2呢，仔细对比一下，小白发现，在最初的问题中，题目中给的是“其中一次是正面朝上”，而没有说是哪一次正面朝上，因此要考虑到顺序问题，所以所有可能的结果就不是三种，而是四种：
那么已知其中一次朝上的情况下，另一次也朝上的概率就变成了1/3.
生日悖论
经历过两次失败后的小白没有放弃，而是越战越勇，于是他让老白给他再出一道题，这次老白给他出了经典的“生日悖论”问题，题目是这样的：
只考虑一年有365天的情况，一个课题组至少有多少名学生就可以使至少两个学生同一天过生日的概率大于50%？
小白想了想，他发现这道题正向思维很难给出答案，因为“至少两个学生同一天过生日”包含的情况太多，这时候他想起了高中概率题常用的办法。
既然正向考虑很难把所有情况都列举出来，那不妨来算一下所有人都不在同一天过生日的概率，只要“所有人都不在同一天过生日”的概率小于50%，那么“至少两个人同一天过生日”的概率就大于50%。
有了思路之后，小白就开始计算，这时他也顾不上排队玩游戏赚游戏币了，已经一门心思地沉浸在了解题的快乐中。
第一个人有365种选择，第二个人和第一个人不在同一天过生日，他有364种选择，第三个人和前两个人都不在同一天过生日，他有363种选择，以此类推，前n个人都不在同一天过生日的概率为：
当n=23时，上述条件满足。
算出这个结果后，小白大吃一惊，本来直觉告诉他应该是一个很大的数，没想到只要23个人就可以使至少两人同一天过生日的概率大于50%。
虽然很难理解，但数学应该是不会错的。
就像薛定谔的猫一样，小白就怎么也理解不了，为什么在观测之前，猫处在又死又活的叠加态。在小白看来，猫的生死状态是确定的，无论你观测与否，这都应该是既定的事实。可能这就是量子力学的迷人之处吧，到处都透露着反直觉。因其难以理解而更加吸引人。
尾声
经过几次失败，小白终于答对了一道题，对于这种违背直觉的概率问题也有了一些认识，所以他重拾信心，又回到游戏区大展身手。
这个时候，工作人员宣布，5个二等奖已经全部被抽走，3个一等奖还都在。这一下，小白一扫心中的阴霾，一下子轻松了许多，因为这样一来，他能抽中一等奖的概率大了许多。
终于，小白集齐了四枚游戏币，来到抽奖区，在抽奖箱里排山倒海地挑了一番，抽上来一个三等奖……
虽然今天晚上学会了很多概率题，但是概率毕竟只是一种可能性，即使抽中一等奖的概率是99%，那剩下1%的小概率事件依然有可能发生。
概率正因其不确定性而迷人，这也是抽奖的乐趣所在。因此无论中奖与否，概率都是一门有趣的学问。
新春派对结束了，物理所的研究生们带着对科研的热忱，重新回到了自己的岗位上。
编辑：小聪
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MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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