【NOI2001】炮兵阵地

【题目描述】

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用“H” 表示），也可能是平原（用“P”表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击 范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。

现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

                       

【输入文件】

文件的第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；

接下来的N行，每一行含有连续的M个字符（‘P’或者‘H’），中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N≤100；M≤10。

【输出文件】

文件仅在第一行包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

 

【分析】

这是一道经典的状态压缩类动态规划的题目。

我们可以看到表示列数的M（M<=10）很小，考虑用一个数的二进制位0与1来表示是否放置炮兵，同时我们用0来表示高低，1来表示平原，用map[i]来记录。

我们发现，因为炮兵的范围可以延伸到两行，所以我们在考虑L行的状态时，总要根据L-1行与L-2行来推得，于是，我们想到要先将所有可行的状态通过枚举得出来(即满足同行两个炮兵互不攻击)，并用state[i]来记录，同时我们也需要把每行所摆的炮兵数用Count[i]记录，注意第一行要特殊处理。

完成了以上的准备工作，用F[i][J][k]来表示在第i行采用第j个状态，上一行采用第k个状态所能得到的最大炮兵数，于是我们很容易得到状态转移方程：

满足state[k1]&state[j]==0  &&  state[k2]&state[j]==0 && map[i]|state[j]==map[i]

f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j])

需满足条件中三个条件所代表的意义分别是，I行与I-1行、I-2行均不冲突，且与地形不冲突，然后就可以转移状态了。

 

 1 #include <cstdlib>

 2 #include <iostream>

 3 #include <cstdio>

 4 #include <cmath>

 5 #include <algorithm>

 6 #include <cstring>

 7 const int maxn=105;

 8 using namespace std;

 9 int n,m,map[maxn],size;

10 int f[maxn][maxn][maxn];

11 int Count[maxn],state[maxn];

12 

13 void prepare();

14 void dp();

15 

16 int main()

17 {

18     int i,j;

19     //文件操作

20     freopen("cannon.in","r",stdin);

21     freopen("cannon.out","w",stdout);

22     

23     scanf("%d%d",&n,&m);

24     for( int i = 1; i <= n; i ++ ){

25         char str[20];

26         scanf("%s", str);

27         for( int j = 0; j < m; j ++ ){            

28             if( str[j] == 'P' )

29                 map[i] = (map[i]<<1)+1;

30             else map[i] = (map[i]<<1)+0;

31         }

32     }

33     prepare();//预处理第一行 

34     dp();//状态转移 

35     int ans=0;

36     for (i=0;i<size;i++)

37     for (j=0;j<size;j++)

38     ans=max(ans,f[n][i][j]);

39     

40     printf("%d\n",ans);

41     return 0;

42 }

43 void prepare()

44 {

45      int i;//记录状态个数 

46      memset(f,0,sizeof(f));

47      

48      for (i=0;i<(1<<m);i++)

49      {

50          //flag代表是否可以摆 

51          int cnt=0,temp=i,flag=0;

52          while (temp>0){

53                //摆了 

54                if ((temp&1)==1){

55                    if (flag>0) break;

56                    else flag=2;//放上比较 

57                    cnt++;//用来统计本行放上的炮兵个数 

58                }

59                else flag--;

60                temp=temp>>1;

61          }

62          if (temp==0)//可以摆

63          {

64               Count[size]=cnt;

65               //表示地形可以摆放 

66               if ((map[1]|i)==map[1])

67               f[1][size][0]=cnt;

68               //累计状态 

69               state[size++]=i;

70          } 

71      }

72      return;

73 }

74 void dp()

75 {

76      int i,k1,k2,j;

77      for (i=2;i<=n;i++)//决策行 

78      for (k1=0;k1<size;k1++)//上一行 

79      for (k2=0;k2<size;k2++)//上两行

80      if (f[i-1][k1][k2]>0)//上两行的摆放状态是合理的 

81      {

82          for (j=0;j<size;j++)

83          //查看当前摆放状态与上两行是否冲突 

84          if ((state[k1]&state[j])==0 && (state[k2]&state[j])==0)

85          if ((map[i]|state[j])==map[i])

86          f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j]);

87      } 

88 }

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