Cayley-Hamilton定理（凯莱-哈密顿定理）

1. 定义

(1) 符号定义

单位矩阵为$I$，矩阵$A$的行列式记作$\det \left(A\right)$，伴随矩阵记作$\mathrm{adj}\left(A\right)$.

(2) 特征多项式

矩阵$A$的特征多项式定义为：
$${\chi }_A\left(s\right)\triangleq \det \left(sI-A\right)=s^n+d_1{s}^{n-1}+\cdots +d_n,$$

2. 定理内容

$${\chi }_A\left(A\right)=A^n+d_1{A}^{n-1}+\cdots +d_n=0$$

3. 证明

考虑矩阵$\left(sI-A\right)$的逆，可以表示为：
$${\left(sI-A\right)}^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\left(sI-A\right)}{\det \left(sI-A\right)}\cdots \left(\ast \right)，$$

其中$\left(sI-A\right)$的行列式可以表示为$\left\{1,s,s^2,\cdots ,s^n\right\}$的线性组合，即
$$\det \left(sI-A\right)=s^n+d_1{s}^{n-1}+\cdots +d_n.$$

而$\left(sI-A\right)$的伴随矩阵可以表示为$\left\{1,s,s^2,\cdots ,s^{n-1}\right\}$的线性组合，即
$$\mathrm{adj}\left(sI-A\right)=B_0{s}^{n-1}+B_1{s}^{n-2}+\cdots +B_{n-1}.$$（注：根据伴随矩阵的定义，可以知道多项式最高阶数为$(n-1)$）

下证：
$${\chi }_A\left(A\right)=A^n+d_1{A}^{n-1}+\cdots +d_n=0.$$
对$(\ast )$式，在等号两边右乘$\left(sI-A\right)$，左乘
$\det \left(sI-A\right)I$，可以得到
$$\mathrm{adj}\left(sI-A\right)\left(sI-A\right)=\det \left(sI-A\right)I.$$

对等号左边进行展开
$$\begin{array}{rl}\mathrm{LHS}& =\left(B_0{s}^{n-1}+B_1{s}^{n-2}+\cdots +B_{n-1}\right)\left(sI-A\right)\\ & =\left(B_0{s}^n+B_1{s}^{n-1}+\cdots +B_{n-1}s\right)-\left(B_{0}A{s}^{n-1}+B_{1}A{s}^{n-2}+\cdots +B_{n-1}A\right)\\ & =B_0{s}^n+\left(B_1-B_{0}A\right)s^{n-1}+\cdots +\left(B_{n-1}-B_{n-2}A\right)s-B_{n-1}A.\end{array}$$

而等式右边为
$$\mathrm{RHS}=s^{n}I+d_1{s}^{n-1}I+\cdots +d_{n}I.$$

对照系数，有
$$\{\begin{array}{l}{B}_0=I\\ B_1-B_{0}A=d_{1}I\\ ⋮\\ B_{n-1}-B_{n-2}A=d_{n-1}I\\ O-B_{n-1}A=d_{n}I\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{B}_0{A}^n=A^n\\ B_1{A}^{n-1}-B_0{A}^{n-2}=d_1{A}^{n-1}\\ ⋮\\ B_{n-1}A-B_{n-2}{A}^2=d_{n-1}A\\ -B_{n-1}A=d_{n}I\end{array}$$

上式等号左边累加结果为$O$（零矩阵），而右边累加为$A$的特征多项式${\chi }_A\left(A\right)$，得证.

3. 应用

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