线性代数导论1——方程组的几何解释

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记。课程地址: http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
第一课时:方程组的几何解释
 
一、线性方程组的两种理解方式:行图像和列图像
对于方程组:
线性代数导论1——方程组的几何解释
我们可以表示成矩阵形式:
 
系数矩阵 A,未知数向量 x,右侧向量为 b,则可写成  Ax= b
1)行图像的理解方式:试图将每一个完整方程所表示的图像表示出来。
线性代数导论1——方程组的几何解释
交点即方程的解为(1,2)。
2)列图像的理解方式:关注矩阵的列所表示的向量,把两个方程组放在一起考虑:
线性代数导论1——方程组的几何解释
这样做的目的是找到两个列向量的正确的线性组合为右侧向量 ,现在需要求x,y这两个数值,来制造向量(0,3),其几何形式,图像如下
线性代数导论1——方程组的几何解释
选取所有的x和y,即所有的线性组合即为整个坐标平面。可以求出右侧任意的b向量。
 
考虑扩展至三维空间,
线性代数导论1——方程组的几何解释
在行图像中,一个含有3个未知数的方程组在三维空间中确定一个平面,两个方程组确定一条直线,三个方程组确定一个点,这个点就是方程组的解,当然前提是这三个方程组所确定的平面两两不平行。在列图像中,可类似二维中作出三个列向量的几何图像并求得线性组合。
扩展至n维,可以此类推。
 
二、方程组解的情况
对于上面3维空间的例子,
保证左侧矩阵不变,然后考虑所有右侧向量,任意b,是否每个b都有对应解?
换种说法:列的线性组合是否能覆盖整个三维空间?
非奇异矩阵,可逆矩阵可以做到。
如果是奇异矩阵,即不可逆矩阵,在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的,在列图像中看即至少有两个列向量是指向同一方向的(即不相互独立,相当于同一个向量),此时,只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内时,方程组才有解。
 
三、矩阵与向量相乘的方法
1)将矩阵A与向量x的相乘,看着A各列的线性组合,这是极力推荐的。
线性代数导论1——方程组的几何解释
矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合,结果为列向量
左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合,结果为行向量
2)原始点乘方式。

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