解同余式的最小解

 

　　我们知道欧几里得扩展定理是同余方程ax≡b(mod c)解得有力方法。这个方程可能有解也可能没有解，下面给出有解的条件：

　　定理：同余方程ax≡b(mod c)有解，当且仅当gcd(a,c)|b,且方程有gcd(a,c)个解。

　　原因是求ax≡b(mod c)可以转化为求ax+cy=b。

　　令：d=gcd(a,c),  k=c/d;

　　我们可以用扩展欧几里得求出x，y值。那么方程ax≡b(mod c)的一个特解：x0=x*(b/d)%c。并且它的d个解分别为：

　　Xi=(x0+i*(k))%c，{i=0,1,2,.....d-1}。

　　方程ax≡b(mod c)的最小解为：(x0%k+k)%k。

 

代码如下：

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 #include <cmath>

 4 using namespace std;

 5 

 6 __int64 Exgcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y)

 7 {

 8     if(b==0)

 9     {

10         x=1, y=0;

11         return a;

12     }

13     __int64 r = Exgcd(b, a%b, x, y);

14     __int64 tp=x;

15     x = y;

16     y = tp-a/b*y;

17     return r;

18 }

19 

20 // ax==b(mod c)

21 void Liner_modu(__int64 a, __int64 b, __int64 c)

22 {

23     __int64 x, y, ans;

24     __int64 d = Exgcd(a, c, x, y);

25     if(b%d)

26     {

27         puts("No solution");

28         return;

29     }

30     ans = x*(b/d)%c;  //特解

31     y = c / d;

32     ans = (ans%y+y)%y; //最小解

33     printf("%I64d\n", ans);

34 }

35 int main()

36 {

37     __int64 a, b, c;

38     while(~scanf("%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c))

39     {

40         while(a<0) a+=c;

41         while(b<0) b+=c;

42         Liner_modu(a, b, c);

43     }

44     return 0;

45 }