【2024高教社杯全国大学生数学建模竞赛】B题完整解析（含论文、代码分享）

1问题重述

1.1问题背景

1.2研究意义

1.3具体问题

2 总体分析

3 模型假设

4 符号说明

5 模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立与求解

5.1.1问题的具体分析

问题一要求制定一个抽样检测计划，以决定是否接受一批零配件，基于供应商所声称的次品率。关键在于如何确定适当的样本量和决策标准，以最小化检测成本，同时确保决策的高可靠性。

在具体分析中，企业面临的主要挑战是在95%的置信水平下拒收次品率超过标称值的零配件，在90%的置信水平下接受次品率不超过标称值的零配件。这涉及到统计假设检验，特别是需要控制第一类错误（错误地拒绝良品）和第二类错误（错误地接受次品）的概率。
次品率的抽样检测通常采用二项分布进行建模，每个零配件要么合格，要么不合格，完全符合二项分布的特性。基于供应商提供的次品率标称值，可以设定零假设（次品率小于等于标称值）和备择假设（次品率大于标称值），并采用z检验或t检验等统计方法来决定是否拒收整批零配件。

在模型构建方面，首先需要定义这些假设，然后是确定样本量，这一步骤至关重要，以确保检验的功效，即最小化第一类和第二类错误的概率。这可以通过设定错误的容忍界限（例如α=5%，β=10%）和进行功效分析来实现。接着，需要设定决策规则，即根据样本次品率与临界值的比较结果来接受或拒绝零假设。

求解模型时，会计算在给定置信水平下的临界值，如果样本次品率大于此临界值，则拒绝零假设，否则接受。可以通过模拟抽样过程，计算样本次品率，并根据这些数据与临界值比较来确定是否接受或拒绝。这种方法可以为企业提供一个科学且经济有效的抽样检测方案，帮助企业在保证产品质量的同时控制相关成本。

5.1.2模型的准备

5.1.3模型的建立与求解

代码

第一问

from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def calculate_sample_size_and_visualize(p0, beta_accept, beta_reject):
    # 估计样本量的合理初始范围
    n_start = 30  # 假设样本量从30开始
    n_max = 500  # 最大样本量限制为500

    sample_sizes = []
    reject_probabilities = []
    accept_probabilities = []
    sample_size_found = None

    for n in range(n_start, n_max, 10):  # 每次增加10个样本
        # 计算在p0条件下的拒收和接收概率
        p_reject = binom.cdf(int(n * p0), n, p0)
        p_accept = 1 - binom.cdf(int(n * p0), n, p0)

        # 存储每个样本量的结果，用于可视化
        sample_sizes.append(n)
        reject_probabilities.append(p_reject)
        accept_probabilities.append(p_accept)

        # 判断是否满足条件
        if p_reject <= beta_reject and p_accept >= beta_accept and sample_size_found is None:
            sample_size_found = n  # 记录找到的最小样本量

    # 如果没有找到符合条件的样本量，返回最大样本量
    if sample_size_found is None:
        sample_size_found = n_max

    # 返回结果及用于可视化的数据
    return sample_size_found, sample_sizes, reject_probabilities, accept_probabilities


# 参数设置
p0 = 0.10  # 标称次品率
beta_accept = 0.90  # 90%接收概率
beta_reject = 0.05  # 5%拒收概率

# 计算最小样本量并获取可视化数据
sample_size, sample_sizes, reject_probs, accept_probs = calculate_sample_size_and_visualize(p0, beta_accept,
                                                                                            beta_reject)



# 可视化输出
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 拒收概率曲线
plt.plot(sample_sizes, reject_probs, label="拒收概率", color='red', marker='o')
# 接收概率曲线
plt.plot(sample_sizes, accept_probs, label="接收概率", color='blue', marker='x')

# 标注最小抽样量
plt.axvline(x=sample_size, color='green', linestyle='--', label=f"最小抽样量 = {sample_size}")

# 图表标题和标签
plt.title('样本量与拒收/接收概率的关系')
plt.xlabel('样本量')
plt.ylabel('概率')
plt.legend()

# 显示网格
plt.grid(True)

# 显示图表
plt.show()

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