拓展欧几里得算法
先贴个模板：
1 void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y) 2 { 3 if (!b) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 d=a; 8 } 9 else
10 { 11 gcd(b,a%b,d,y,x); 12 y-=a/b*x; 13 } 14 }
下面给出我对这个算法的理解:
现在要解ax+by=gcd(a,b)
假设我们已经解出了 bx0 + (a%b)y0=gcd(a,b) (1)
令y=x0 -> ay0 + by = gcd(a,b) (2)
(2)-(1)得到 (a-a%b)y0 + b(y-x0)=0
整理得到 y=x0-((a-a%b)/b)y0 = x0 - a/b*y0 = x0 - a/b * x
根据上面的递归,返回的时候x=y0,y=x0 所以y需要再减去 a/b*x
函数结束时就可以得到一组解了。那么如何得到其他解呢？
首先令 d=gcd(a,b) a'=a/d b'=b/d
ax+by=d
设a(x+x0) + b(y+y0)=d
那么相减得到 ax0+by0=0 -> y0=-a/b * x0= -a'/b' * x0
y0和x0都是整数,所以x0必定是b'的倍数. 即x0=k*b'
因此对于方程ax+by=d , 让x=x+b' y=y-a' 方程仍然成立。
所以方程的解为
x=x+k*b'
y=y- k*a'
为了便于理解，如果给出的a<0,一开始就把a=-a，c=-c，这样a，b，c都是正的了。
如果 （c%d！=0） 那么无解。
否则 令k=c/d， a'=a/d , b'=b/d;
对于函数求出的x，先映射一下 ，x*=k.
然后 x每次 加 b', y每次减 a' 是不会影响等式成立的。
这样 就可以 求出x的最小整数解。
if (x<0)
(x+=abs(x)/b' * b' + b') %= b';
if (x>0)
x-=x/b' * b';
扩展欧几里得还可以拿来求解同余方程组:
x mod m1=a1
x mod m2=a2
...
x mod mn=an
可以2个两个来合并,先看前2个：
设一个合法的解为t.
那么t=m1*x+a1=m2*y+a2
移项得m1*x+m2*y=a2-a1
用扩展欧几里得可以得到一组合法的x,y
设m1*(x+x0)+a1=m2*(y+y0)+a2
那么可以得到y0=m1/m2*x0
设gcd(m1,m2)=d m1'=m1/d m2'=m2/d
y0=m1'/m2' * x0
所以x0必须是m2'的倍数。
设之前解出来的x是x'
那么所有符合要求的x=x' + k*m2' 把x'带入得到一个合法的t'
那么所有符合要求的t=m1 * x'+a1 + k * m2' * m1 = t' + k * lcm(m1,m2).
因此2个同余方程就可以合并成一个了：
x mod lcm(m1,m2) = t'
两两合并就可以解出来了。
贴个模板：
1 void equation() 2 { 3 cin >> m1 >> a1; 4 for (int i=1;i<n;i++) 5 { 6 cin >> m2 >> a2; //t=m1*x+a1=m2*y+a2 -> m1*x+m2*y=a2-a1 7 a=m1; 8 b=m2; 9 c=a2-a1; 10 gcd(a,b,x,y,d); 11 12 if (c%d!=0) //判断无解 13 { 14 cout<<-1<<endl; 15 return 0; 16 } 17 18 x*=c/d; // 映射x 19 x%=m2/d; // a1最终要mod lcm(m1,m2) t=m1*x+a1 x不能超过m2/d,否则容易爆long long 20 a1=m1*x+a1; 21 m1=m1/d*m2; 22 if (a1<0) //令a1>=0 23 a1+=-a1/m1*m1+m1; 24 if (a1>0) 25 a1%=m1; 26 } 27 }