中国剩余定理与孙子问题

今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？

解此类问题有通用的手段。此处就以孙子问题为例叙述解法和原理。

设所求的数为N，那么：

N%3 = 2

N%5 = 3

N%7 = 2

1. 我们先找一个数N1，使其满足：

    N1%3 = 2 

    -且-

    N1是5和7的公倍数。

    35就可满足要求。

2. 再找一个数N2，使其满足：

    N2％5 = 3

    -且-

    N2是3和7的公倍数。

    63可满足要求。

3. 最后找一个数N3，使其满足：

    N3%7 = 2

    - 且 -

    N3是3和5的公倍数。

    30可满足要求。

4. 满足要求的一个数为：N=N1+N2+N3=128

5. 原理：

    1）N1满足模3余2，N2，N3是3的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模3余2

    2）N2满足模5余3，N1，N3是5的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模5余3

    3）N3满足模7余2，N1，N2是7的倍数，所以N1+N2+N3仍然满足模5余2

    4）综上，N1+N2+N3是满足条件的一个数

6. 显然满足条件的数有无穷个。在N上加或减3，5，7的公倍数所得仍然满足条件。

    满足条件的最小数为23。

7. 由此可以扩展出一些小学数学问题的证明。例如，满足什么条件的数可以被3整除？

    我们都知道答案，但如何证明？

    －－证明方法就是，证明如下定理：

         一个数的所有位的数字加起来所得的数与该数模3同余。

8. 同余

    如果a%x == b%x，就说a和b模x同余，或写作 a ≡ b  (mod x)

    若 a ≡ b  (mod x)，c  ≡ d (mod x)，那么有以下一些性质：

    a^n  ≡ b^n (mod x)

    a+c  ≡ b+d (mod x)

    ac  ≡ bd (mod x)