一个高中数学问题

  在看三边Bezier曲面片时,想到一个相对题外的问题,即x+y+z=n,x,y,z >= 0,则求整数x,y和z的组合个数。这在高中时被数学老师(周海宁)称为“小球插板”问题。对于x,y和z为正数的情形比较自然,即n个小球一字排开,其间的n-1条缝隙取2个(x与y,y与z的间隔)组合,因此共有组合数C(n-1,2);而对于题设情形,即含零的插板,就略微困难,但记得以前解决的办法也不难。如果用枚举插板捆绑情形非常复杂,寻找规律却能发现其组合数是C(n+k,k),其中k是板的个数。现在就要为这个结果寻找依据。不难设想,构造n+k个盒子,将这“无差异的”n个小球和k块板放入,每一种放置都对应一种插板法,C(n+k,k)恰好表明该组合数。像这样的问题,改换到直观的图景的确会变得容易理解。

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