难倒犹太人的11个数学问题

    这个并不是标题党。很多年以前，要想进入莫斯科国立大学的数学系，你必须通过四项入学考试；头两个都是数学考试，一个笔试，一个面试。在面试中，学生和考官都是一对一的，考官可以自由向学生提出任何他喜欢的问题。考官们都准备了很多“棺材问题”，这些问题的答案非常简单，但由于思路太巧妙了，以至于学生很难想到。考官便可以以“你连这个都没想到”为理由，光明正大地拒绝学校不想要的人（主要是犹太人）。这个 Blog 之前就曾经介绍过这样的问题。

    最近网上的一篇文章介绍了 21 个这样的“棺材问题”，其中有些这个 Blog 以前讲过的经典问题，但也有不少我第一次见到的好题。我选取了 11 个比较有意思的问题，在这里和大家分享。

1. 找出所有的函数 F(x): R→R ，使得对于任意两个实数 x₁ 、 x₂ 都满足 F(x₁) - F(x₂) ≤ (x₁ - x₂)² 。

 

答案：不等式可以变为 (F(x₁) - F(x₂)) / |x₁ - x₂| ≤ |x₁ - x₂| ，于是我们立即可知，对于任意实数 x₂ ，函数在 x₂ 处的导数都为 0 。因此， F(x) 是常函数。

 
 

2. 给定三角形 ABC ，用尺规作图找出 AB 上的一点 K 以及 BC 上的一点 M ，使得 AK = KM = MC 。
  

 

答案：先在 BC 上任取一个点 M' ，然后用圆规截取 AD = CM' 。过 D 作 AC 的平行线，以 M' 为圆心 M'C 为半径作圆，与这条平行线交于点 K' 。过 K' 作 AB 的平行线。容易看出，此时 A'K' = K'M' = M'C ，并且三角形 A'B'C' 与整个大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 为中心将 A'B'C' 放大到 ABC ，就可以得到满足要求的 K 点和 M 点了。因此，我们延长 CK' ，并把它与 AB 的交点记为点 K ，这个点 K 就是要求的点。既然 AK 的长度知道了， M 点的位置也就确定了。
  

 
 

3. 求出 2 · ³√2y - 1 = y³ + 1

 

答案：令 x = (y³ + 1) / 2 ，原式就变成了 y = (x³ + 1) / 2 。如果令函数 f(t) = (t³ + 1) / 2，你会发现 x 和 y 同时满足 f(x) = y 和 f(y) = x 。然而函数 f(t) 是严格单调递增的，因此 x 一定等于 y 。
于是，方程就变成了 y³ - 2y + 1 = 0 。等式左边可以变为 (y³ - y²) + (y² - y) - (y - 1) ，进而分解为 (y - 1)(y² + y - 1) 。于是得到方程的三个解： y = 1 和 y = (- 1 ± √5) / 2 。

 
 

4. 给定平面上的一个点 M 以及一个角 XOY 。用尺规作图确定出一条过 M 的直线，使得它与这个角的两边围成的三角形周长为一个给定值 p 。
  

 

答案：在角的两边上分别作出 A 、 B 两点，使得 AO = BO = p / 2 。过 A 、 B 两点分别作所在直线的垂线，两垂线交于点 C 。不难看出， AC 和 BC 的长度相等。事实上，如果以 C 为圆心作一个经过 A 、 B 的圆，这个圆将正好和角 XOY 的两边切于 A 、 B 两点。现在，过 M 作这个圆的切线，将切点记为 T 。只需要注意到 PT = PA ，并且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周长就等于 AO + BO ，也就是 p 。
  
补充一下切线的作法：以 MC 为直径作圆，与圆 C 交于点 T 。于是 ∠CTM 是一个直角，因而 MT 就是切线。

 
 

5. 给定一个等边三角形 ABC ，以及三角形内的一个点 O ，满足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用线段 AO 、 BO 、 CO 组成一个三角形，它的各个内角是多少（用 x 和 y 来表示）？
  

 

答案：将整个三角形绕着点 A 顺时针旋转 60 度，把 B 和 O 的落点分别记作 B' 和 O' 。这样的话， ∠AO'B 和 ∠BO'B' 的角度也是 x 和 y ，并且 CO = BO' 。另外，由于 AO 与 AO' 长度相等且夹角为 60 度，因此三角形 AOO' 是等边三角形， AO = OO' 。因此，三角形 BOO' 的三边长度实际上就分别等于 AO 、 BO 、 CO 。根据已知条件很容易算出它的三个内角度数，他们分别是 x - 60° 、 y - 60° 和 300° -x - y 。
  
这里有一个相关的问题。

 
 

6. 给定平面上的两条相交直线。到这两条直线的距离和等于某个给定值 p 的所有点将组成一个什么样的图形？

 

答案：一个矩形。假设有一个等腰三角形 ABC ，底边 BC 上有一个动点 P 。把三角形腰长记为 l ，把 P 到两腰的距离分别记作 PM 和 PN 。线段 AP 将三角形 ABC 分成了左右两个小三角形，他们的面积和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一个定值（即整个三角形的面积），因此 PM + PN 也是一个定值。这个定值就是等腰三角形腰上的高。
  
两条相交直线将产生四个角，每个角里都有这么一个“底边”。这四条“底边”组成了一个矩形。
  

 
 

7. 能否在平面上放置六个点，使得任意两点之间的距离都是整数，并且任意三点不共线？

 

答案：可以。我们先专心构造出任意两点之间的距离都是有理数的点集，再把所有点的坐标都扩大一个相同的倍数即可。把三边长分别为 3 、 4 、 5 的经典直角三角形放在平面直角坐标系上，斜边放在 x 轴上，斜边的中点和原点重合。那么，斜边上的高 CH 一定是有理数，因为由面积法可知它等于 AC · BC / AB 。另外，由于 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，他们都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理数。另外， C 到原点 O 的距离也是有理数，因为它是直角三角形斜边上的中线，它等于斜边长度的一半。
  
现在，把 C 沿着 x 轴翻折到 C' ，再把 C 和 C' 分别沿 y 轴翻折到 D 和 D' 。于是 A 、 B 、 C 、 C' 、 D 、 D' 就是满足要求的六个点。为了去掉分母，我们需要把他们的坐标都扩大到原来的 10 倍，于是得到一个答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。
事实上，我们有办法构造出平面上任意多个点，使得他们两两之间距离都为整数，同时任意三点都不共线。

 
 

8. 给出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四条边的长度，以及 AB 和 CD 两边中点的连线长度，用尺规作图还原出四边形 ABCD 来。

 

答案：让我们先来看一个简单的问题：已知三角形其中两边的长以及第三边上的中线，如何用尺规作图还原出这个三角形来？我们可以先倍长中线 AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我们已经知道 AB 、 BE 和 AE 的长度（ AE 的长度就是两倍 AD ），便能作出三角形 ABE 来。然后，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。
  
回到原问题。将 AB 的中点记为 E 。把 AD 和 BC 分别平移到 ED' 和 EC' 。于是， CC' 和 DD' 是平行且相等的（他们都平行且等于 AB 的一半），如果把 C'D' 和 CD 的交点记作 F ，那么 △CC'F 和 △DD'F 是全等的， F 既是 CD 的中点，又是 C'D' 的中点。由于我们知道 EC' 、 EF 、 ED' 的长度，用刚才的方法我们就能画出三角形 EC'D' 了。
  
现在，把 BC 平移到 AC'' ，容易看出 △EC'D' 和 △AC''D 是全等的，而 CC'' 和 CD 的长度是已知的。这样一来，问题就解决了。把刚才画的三角形当作 △AC''D ，再以 C'' 和 D 为圆心分别作圆，找出 C 点的位置。最后把 AC'' 平移到 BC ，我们就作出了四边形 ABCD 的全部四个顶点。

 
 

9. 给定线段 AB ，再预先给定一条与 AB 平行的直线。只用直尺作图，将线段 AB 六等分。
  

 

答案：在平行线上任取 C 、 D 两点。我们可以用如下方法找出 CD 的中点：先在平面上取一个点 E ，然后依次作出 F 、 G 、 H 、 I 各点，那么 I 就是 CD 的中点。具体的证明可以参见这里。
  
现在，对 CD 上的每一个小线段继续平分下去，直到把 CD 分为八等分。用下图的方法把 AB 分为六等分。
  

 
 

10. 给定正方形各边上的一个点。用尺规作图恢复出这个正方形来。

 

答案：假设 A 、 B 、 C 、 D 依次是正方形四条边上的点。过 B 作 AC 的垂线，截取 BD' = AC 。那么， D' 也在正方形上， D 和 D' 的连线就是正方形的其中一条边。剩下的事情就简单了。
  

 
 

11. 两条水平线之间有一段严格单调递增的函数。函数上有一个动点 P 。过 P 点作一条竖直线，它与其他已有线条围成了两块阴影面积。当 P 运动到什么位置时，阴影面积之和最小？
  

 

答案：当 P 运动到两条水平线正中间（到两条水平线距离相等）时，阴影面积之和最小。此时，如果 P 往右移动，将导致下边面积增加的速度超过上边面积减少的速度；如果 P 往左移动，将导致上边面积增加的速度超过下边面积减少的速度。