排列组合

（常考）错位排列 有N封信和N个信封，每封信都不装在自己信封里的排列种数记作Dn,则 D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44，D6=265

　一、相邻问题---捆绑法 不邻问题---插空法
　　对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

　　【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

　　A.20 B.12 C.6 D.4

　　【答案】A。

　　【解析】

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首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。所以一、两个新节目相邻的的时候：把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：捆在一起的这两个节目本身也有顺序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8种方法。二、两个节目不相邻的时候：此时将两个节目直接插空有：A(4，2)=12种方法。综上所述，共有12+8=20种。





　　二、插板法
　　一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。

　　【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？

　　A.190 B.171 C.153 D.19

　　【答案】B。

　　【解析】

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此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有： C(19，17)=C(19，2)=171种。





　　三、特殊位置和特殊元素优先法
　　对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

　　【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？

　　A.120 B.240 C.180 D.60

　　【答案】B。

　　【解析】

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方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。

　　方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

　　第一类，甲不参赛有A(5,4)=120种排法；

　　第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法，故有2×60=120种方案。

　　所以有120+120=240种参赛方案。





　　四、逆向考虑法
　　对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。

　　正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？

　　A.70 B.64 C.61 D.58

　　【答案】D。

　　【解析】

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所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C(8，4)-12=70-12=58个。





　　五、分类法
　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

　　【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有

　　A.120种 B.96种 C.78种 D.72种

　　【答案】C。

　　【解析】

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由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A (4，4)=24种排法；2)若甲在第二，三，四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

练习题：

1、丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？

　　A.6 B.12 C.9 D.24

　　2、马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种？

　　A.60 B.20 C.36 D.45

　　3、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数？

　　A .300 B.360 C.120 D.240

　　4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？

　　A.45 B.36 C.9 D.30

　　5、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数？

　　A.120 B.64 C.124 D.136
【参考答案及解析】：

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　　1、【解答】C。能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

　　如果甲站在第二位，则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

　　如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

　　如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

　　因此一共有9种可能

　　2、【解答】B。关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(6，3)=20种方法。

　　3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个

　　4、【解答】B。把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9，7)=36种。

　　5、【解答】D。先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

　　第一类：乙在排头，有A(5，5)种站法。

　　第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C(4，1)×(4，1)×(4，4)种站法，故共有136种站法。