模运算的基本性质

基本理论 

基本概念

给定一个正整数p,任意一个整数n,一定存在等式 n = kp + r ;   

其中k、r是整数,且 0 ≤ r < p,称呼k为n除以p的商,r为n除以p的余数。   

对于正整数p和整数a,b,定义如下运算:   

取模运算:a % p(或a mod p),表示a除以p的余数。   

模p加法:(a + b) % p ,其结果是a+b算术和除以p的余数,也就是说,(a+b) = kp +r,则(a + b) % p = r。   

模p减法:(a-b) % p ,其结果是a-b算术差除以p的余数。   

模p乘法:(a * b) % p,其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。


正整数a,b对p取模,它们的余数相同,记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。   

n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。

例如:7%4 = 3, -7%4 = -3, 7%-4 = 3, -7%-4 = -3。  


基本性质 

(1)若p|(a-b),则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7), 18 ≡ 4(% 7)   

(2)(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)  

(3)对称性:a≡b (% p)等价于b≡a (% p)   

(4)传递性:若a≡b (% p)且b≡c (% p) ,则a≡c (% p)   

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:   

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p (1)   

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p (2)   

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p (3)   

ab % p = ((a % p)b) % p (4)   

结合率:

 ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p (5)   

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p (6)  

 

交换率: (a + b) % p = (b+a) % p (7)   

(a * b) % p = (b * a) % p (8)   

分配率: ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p (9) 

  

重要定理

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);(10)   

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);(11)   

若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a - c) ≡ (b - d) (%p),   (a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p); (12)   

若a≡b (% p),则对于任意的c,都有ac≡ bc (%p); (13)


你可能感兴趣的:(模运算的基本性质)