子集合加总问题(Subset sum problem)
两年前在做一个ERP项目时，有个客户提出，根据订单给出的每个货品的数量（库里存的有每个货品最小包装的重量，体积和长宽高），输入包装箱的承重和体积和长宽高，然后我需要你们提供一个包装方案，要求结果是用最少的纸箱来包装这些货物并给出包装步骤，最好能用3D图表示。当时我就蒙了，这算法要是靠外包公司写，不知道写不写的出来，于是给客户扯了个类似的背包问题，然后告诉它这是NP完全问题，非常复杂，货物很多的时候你的服务器不一定能承受计算的压力。然后客户也蒙了，再然后这个需求就取消了。其实，这个到底是不是背包问题，是不是属于NP完全问题，我也不敢讲，没仔细的推导过。当时只是觉得场景类似，所以就举了个这样的例子给他。现在得回顾一下这个问题，看看靠自己得知识能不能把这个问题推导至背包问题。但是要说背包问题，还是先说子集合加总问题吧。
给一个整数集合，问是否存在某个非空子集，使得子集内中的数字和为0？例：给定集合{−7, −3, −2, 5, 8}，答案是存在，因为子集{−3, −2, 5}的数字和是0。这个问题被证明是属于NP完全问题。如果把这个问题当作一个特例，那范围更广的问题就是 “给一个整数集合A，问是否存在某个非空子集s，使得子集内中的数字和为B” ，当我们把B设为0时，就是我们上面的那个问题了。而第二个问题，属于背包问题的一个特例。
子集特定合问题的最简单算法（把所有的子集全部列出来，然后对每一个子集做运算）时间复杂度是O (2NN )，因为有2N个非空子集，然后对于每一个子集，我们最多会做N次加法运算。
有人搞出另外一个算法，这个算法的时间复杂度是O (2N/2 ) （Horowitz and Sahni ，1972）
对他们在1972年提出的这个算法的简单解释如下，
将任意给定元素的集合N分成平分成两个集合，每个集合有N/2个元素，然后计算出每个集合的子集的和加总结果，得出两个列表，对这两个列表用比较排序法，然后我们再把两个列表的元素相加，看是否有其中一对能得到要求的结果。这个加法运算是从第一个列表的头和第二个列表的尾开始。
通过动态规划，还能搞出一个伪多项式时间复杂度的算法，对于判定是否有子集和为0的算法的大概的解释是
序列为 x1, ..., xn
A为集合中正数的总和
B为集合中负数的总和
一个方法Q（i, s） 输出是否有子集（x1, ..., xi ）的和等于s。
当s=0时,这个方法给出的结果时子集i的和是否等于0
那很明显，当s < A 或者 s > B 时 ，Q（i, s）输出否，也就是两个集合不符合这个条件的都可以不被计算和存储。
构造一个数组来保存符合1 ≤ i ≤ N 和 A ≤ s ≤ B 的Q（i，s ）结果。
递归的把结果放到这个数组中，当i＝1 ， A ≤ s ≤ B 时
Q(1,s) := (x1 == s)
当i >1时
Q (i ,s) := Q ( i − 1, s) or (xi == s) or Q ( i − 1, s − xi) for A ≤ s ≤ B
当我们每次往数组中插入值的时候，我们都已知Q的值，所以最终算法的时间复杂度是O ( N ( B − A ) ). 也就是当计算所有的值的时间复杂度是O (N k)，整体算法的复杂度是O ( N k+2) ，但是因为A，B值的大小问题，这个算法不符合时间复杂度理论的多项式算法。
Wiki上面还有个线性时间的类似问题的算法，有些改动，但是那个需要时间参透，自己都没太看明白的东西还是不要摆出来了。
小总结，研究这些问题，或者，学习这些问题的分析方法和分析思路是非常有好处的，做为一个什么都干的程序员，和客户谈需求的时候必须要掌握一些问题的类型，或者能快速的将客户的问题归纳到某个已被证明复杂度的问题上（往往客户提出的问题都是这类问题的某个特例），如此才可有理由的答应或者拒绝客户提出的需求。而且，在处理问题的时候，也能快速的想出比较合适的算法来实现某些功能。总之，要想提高代码的质量和水平，基础还是要扎实的学的。