The Tower of Hanoi（汉诺塔）问题深入研究

汉诺塔问题是一个经典的“重复问题“（recurrent problem），解法也中所周知，最少移动步骤是2^n - 1。

然而，我发现，对这个问题进行进一步的研究也是挺有意思的。

本篇博客目前阐述三个Hanoi相关的三个问题（基本问题，扩展问题，变种问题）。

基本问题：

n个盘子，ABC三个地点，将A上的n个盘子移动到C上。最少的步骤是多少？

AC[n] = AB[n-1] + AC[1] + BC[n-1]

因为AC[n] = BC[n] = AB[n] := T(n)

所以以上等式可以写成T(n) = T(n-1) + 1 + T(n-1)，从而得到T(n) = 2^n - 1

 

扩展问题

由基本问题的推导步骤，我们知道，要在2^n - 1步内将n个盘子从A移动到C，那么每一步都是固定的！

由此，产生以下问题：

经过k步移动后，每个盘子的状态是什么？即，每个盘子是在A，B还是C上？

解法1： 对于这个问题，我们当然可以模拟K步移动来解的答案，但是，这是非常没有效率的。因为K有可能很大，是2的指数级增长东西，所以，这种解法非常愚蠢！

我们需要得到的信息是每个盘子的状态，而不是每一步的具体移动步骤和状态，所以，我们需求的信息是相对较少的，也就必然有比解法1要好的多的解法。理想状况是O(n)时间复杂度，因为不可能比O(n)更小了，你需要要对看一看每个盘子。

从基本问题的推导中，我们可以看到，汉诺塔问题的解决，不过是在不断的重复和交换“起始点“ ”中间点“ 和 “目的点“。我们以src， med， 和dst来标志他们。由此，我们很容易想到，我们的解法也可以是“重复"+"交换".

我的思路是先考察简单情况，比如盘子是2个，3个的情况，得到一个先验的结论和体会。有兴趣的朋友可以试一下。

在考察完简单情况后，结合我们的大方向"重复"+"交换",我们很容易想到以下解法（如果你自己动手考察过简单情况的话，会比较容易理解）：

K = (a[n-1] a[n-2] ... a[1] a[0])的二进制表示. 其中a[i] = 0或者1. （这一步需要花费O(n)时间）

for i <- n-1 to 0

    if a[i] == 0

         p[i] = src; swap(med, dst);

    if a[i] == 1

         p[i] = dst; swap(src, med);

结束。

p[n-1] ... p[0]中的值就是各个盘子的状态，算法时间复杂度为O(n).

 

变种问题：

变种问题是，如果盘子的移动只能从A->B->C或者C->B->A，AC之间不能直接移动盘子，这个汉诺塔的问题会怎么样呢？我们同样考察以上两个问题，即最少步骤和第K步状态。

最小步骤的推导方法和基本汉诺塔问题一致，在此不赘述了，可以得到结论是3^n - 1.

关于第K步状态，有点不一样。如果我们和基本汉诺塔问题的K步问题一样的方法来考察这个问题的话，是可以得到结论的，但是，思路复杂并且耗时长（不信的朋友可以试试）。

以下介绍一种nb的思路来解决这个问题，这个思路我自己没想出来，是参考了一些资料才得到的。

用3进制Gray Code来模拟移动过程！！！！！

朋友！你能想到么？增加了附加的条件后，数学模型竟然更加简单了！

于是移动过程就是Gray Code从00000 增加到 222222 ， 于是刚好可以用0 1 2来表征状态！！！有木有！！！

第K步的状态可以用3进制来表示后，设一个reverse flag（表征某位是从0-1-2还是2-1-0）。于是便可以用简单的数学模型+重复+[每步reverse flag]来解决问题！时间复杂度为O(n).

3进制gray code!!

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！