数据结构 (二叉树)
6.1 二叉树的定义与性质
6.1.1 二叉树的基本概念
1．二叉树
二叉树（Binary Tree）是个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根(root)的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个结点。
二叉树是有序的，即若将其左、右子树颠倒，就成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。因此二叉树具有五种基本形态，如图6.1 所示。
2．二叉树的相关概念
（1）结点的度。结点所拥有的子树的个数称为该结点的度。
（2）叶结点。度为0 的结点称为叶结点，或者称为终端结点。
（3）分枝结点。度不为0 的结点称为分支结点，或者称为非终端结点。一棵树的结点除叶结点外，其余的都是分支结点。
（4）左孩子、右孩子、双亲。树中一个结点的子树的根结点称为这个结点的孩子。这个结点称为它孩子结点的双亲。具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
（5）路径、路径长度。如果一棵树的一串结点n1,n2,…,nk 有如下关系：结点ni 是ni+1的父结点（1≤i<k）,就把n1,n2,…,nk 称为一条由n1 至nk 的路径。这条路径的长度是k-1。
（6）祖先、子孙。在树中，如果有一条路径从结点M 到结点N，那么M 就称为N的祖先，而N 称为M 的子孙。
（7）结点的层数。规定树的根结点的层数为1，其余结点的层数等于它的双亲结点的层数加1。
（8）树的深度。树中所有结点的最大层数称为树的深度。
（9）树的度。树中各结点度的最大值称为该树的度。
（10）满二叉树。
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点都在同一层上，这样的一棵二叉树称作满二叉树。如图6.2 所示，（a）图就是一棵满二叉树，（b）图则不是满二叉树，因为，虽然其所有结点要么是含有左右子树的分支结点，要么是叶子结点，但由于其叶子未在同一层上，故不是满二叉树。
一棵深度为k 的有n 个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i 的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。完全二叉树的特点是：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。如图6.3 所示（a）为一棵完全二叉树，（b）和图6.2（b）都不是完全二叉树。
6.1.2 二叉树的主要性质
性质1 一棵非空二叉树的第i 层上最多有2i-1 个结点（i≥1）。该性质可由数学归纳法证明。证明略。
性质2 一棵深度为k 的二叉树中，最多具有2k－1 个结点。
证明设第i 层的结点数为xi（1≤i≤k），深度为k 的二叉树的结点数为M，xi 最多为2i-1，则有：
证明根据完全二叉树的定义和性质2 可知，当一棵完全二叉树的深度为k、结点个数为n 时，有
性质5 对于具有n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1 开始顺序编号，则对于任意的序号为i 的结点，有：
（1）如果i>1，则序号为i 的结点的双亲结点的序号为i/2(“/”表示整除)；如果i＝1，则序号为i 的结点是根结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i 的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i>n，则序号为i 的结点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i 的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1>n，则序号为i 的结点无右孩子。
此外，若对二叉树的根结点从0 开始编号，则相应的i 号结点的双亲结点的编号为（i－1）/2，左孩子的编号为2i＋1，右孩子的编号为2i＋2。此性质可采用数学归纳法证明。证明略。
6.2 基本操作与存储—二叉树的存储
1．顺序存储结构
所谓二叉树的顺序存储，就是用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。一般是按照二叉树结点从上至下、从左到右的顺序存储。这样结点在存储位置上的前驱后继关系并不一定就是它们在逻辑上的邻接关系，然而只有通过一些方法确定某结点在逻辑上的前驱结点和后继结点，这种存储才有意义。因此，依据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，这样既能够最大可能地节省存储空间，又可以利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。图6.4 给出的图6.3(a)所示的完全二叉树的顺序存储示意。
对于一般的二叉树，如果仍按从上至下和从左到右的顺序将树中的结点顺序存储在一维数组中，则数组元素下标之间的关系不能够反映二叉树中结点之间的逻辑关系，只有增添一些并不存在的空结点，使之成为一棵完全二叉树的形式，然后再用一维数组顺序存储。
如图6.5 给出了一棵一般二叉树改造后的完全二叉树形态和其顺序存储状态示意图。显然，这种存储对于需增加许多空结点才能将一棵二叉树改造成为一棵完全二叉树的存储时，会造成空间的大量浪费，不宜用顺序存储结构。最坏的情况是右单支树，如图6.6 所示，一棵深度为k 的右单支树，只有k 个结点，却需分配2k－1 个存储单元。
(c) 单支树改造后完全二叉树的顺序存储状态图6.6 右单支二叉树及其顺序存储示意图二叉树的顺序存储表示可描述为：
#define MAXNODE /*二叉树的最大结点数*/
typedef elemtype SqBiTree[MAXNODE] /*0 号单元存放根结点*/
SqBiTree bt;
即将bt 定义为含有MAXNODE 个elemtype 类型元素的一维数组。
2．链式存储结构
所谓二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示着元素的逻辑关系。通常有下面两种形式。
（1）二叉链表存储
链表中每个结点由三个域组成，除了数据域外，还有两个指针域，分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。结点的存储的结构为：
其中，data 域存放某结点的数据信息；lchild 与rchild 分别存放指向左孩子和右孩子的指针，当左孩子或右孩子不存在时，相应指针域值为空（用符号∧或NULL 表示）。
图6.7(a)给出了图6.3(b)所示的一棵二叉树的二叉链表示。二叉链表也可以带头结点的方式存放，如图6.7(b)所示。
（2）三叉链表存储
每个结点由四个域组成，具体结构为：
其中，data、lchild 以及rchild 三个域的意义同二叉链表结构；parent 域为指向该结点双亲结点的指针。这种存储结构既便于查找孩子结点，又便于查找双亲结点；但是，相对于二叉链表存储结构而言，它增加了空间开销。图6.8 给出了图6.3(b)所示的一棵二叉树的三叉链表示。
尽管在二叉链表中无法由结点直接找到其双亲，但由于二叉链表结构灵活，操作方便，对于一般情况的二叉树，甚至比顺序存储结构还节省空间。因此，二叉链表是最常用的二叉树存储方式。本书后面所涉及到的二叉树的链式存储结构不加特别说明的都是指二叉链表结构。
二叉树的二叉链表存储表示可描述为：
typedef struct BiTNode{
elemtype data;
struct BiTNode *lchild;*rchild; /*左右孩子指针*/
}BiTNode,*BiTree;
即将BiTree 定义为指向二叉链表结点结构的指针类型。
6.2 基本操作与存储—二叉树的基本操作及实现
1．二叉树的基本操作
二叉树的基本操作通常有以下几种：
（1）Initiate（bt）建立一棵空二叉树。
（2）Create（x，lbt，rbt）生成一棵以x 为根结点的数据域信息，以二叉树lbt 和rbt为左子树和右子树的二叉树。
（3）InsertL（bt，x，parent）将数据域信息为x 的结点插入到二叉树bt 中作为结点parent 的左孩子结点。如果结点parent 原来有左孩子结点，则将结点parent 原来的左孩子结点作为结点x 的左孩子结点。
（4）InsertR（bt，x，parent）将数据域信息为x 的结点插入到二叉树bt 中作为结点parent 的右孩子结点。如果结点parent 原来有右孩子结点，则将结点parent 原来的右孩子结点作为结点x 的右孩子结点。
（5）DeleteL（bt，parent）在二叉树bt 中删除结点parent 的左子树。
（6）DeleteR（bt，parent）在二叉树bt 中删除结点parent 的右子树。
（7）Search（bt，x）在二叉树bt 中查找数据元素x。
（8）Traverse（bt）按某种方式遍历二叉树bt 的全部结点。
2．算法的实现
算法的实现依赖于具体的存储结构，当二叉树采用不同的存储结构时，上述各种操作的实现算法是不同的。下面讨论基于二叉链表存储结构的上述操作的实现算法。
（1）Initiate（bt）初始建立二叉树bt，并使bt 指向头结点。在二叉树根结点前建立头结点，就如同在单链表前建立的头结点，可以方便后边的一些操作实现。
int Initiate (BiTree *bt)
{/*初始化建立二叉树*bt 的头结点*/
if((*bt=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))==NULL)
return 0;
*bt->lchild=NULL;
*bt->rchild=NULL;
return 1;
}
算法6.1
（2）Create（x，lbt，rbt）建立一棵以x 为根结点的数据域信息，以二叉树lbt 和rbt为左右子树的二叉树。建立成功时返回所建二叉树结点的指针；建立失败时返回空指针。
BiTree Create（elemtype x，BiTree lbt，BiTree rbt）
{/*生成一棵以x 为根结点的数据域值以lbt 和rbt 为左右子树的二叉树*/
BiTree p;
if ((p=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))==NULL) return NULL;
p->data=x;
p->lchild=lbt;
p->rchild=rbt;
return p;
}
算法6.2
（3）InsertL（bt，x，parent）
BiTree InsertL（BiTree bt，elemtype x，BiTree parent）
{/*在二叉树bt 的结点parent 的左子树插入结点数据元素x*/
BiTree p;
if (parent==NULL)
{ printf(“\n 插入出错”)；
return NULL;
}
if ((p=(BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))==NULL) return NULL;
p->data=x;
p->lchild=NULL;
p->rchild=NULL;
if (parent->lchild==NULL) parent->lchild=p;
else {p->lchild=parent->lchild;
parent->lchild=p;
}
return bt;
}
算法6.3
（4）InsertR（bt，x，parent）功能类同于（3），算法略。
（5）DeleteL（bt，parent）在二叉树bt 中删除结点parent 的左子树。当parent 或parent的左孩子结点为空时删除失败。删除成功时返回根结点指针；删除失败时返回空指针。
BiTree DeleteL（BiTree bt，BiTree parent）
{/*在二叉树bt 中删除结点parent 的左子树*/
BiTree p;
if (parent==NULL||parent->lchild==NULL)
{ printf(“\n 删除出错”)；
return NULL’
}
p=parent->lchild;
parent->lchild=NULL;
free(p); /*当p 为非叶子结点时，这样删除仅释放了所删子树根结点的空间，*/
/*若要删除子树分支中的结点，需用后面介绍的遍历操作来实现。*/
return br;
}
算法6.4
（6）DeleteR（bt，parent）功能类同于（5），只是删除结点parent 的右子树。算法略。操作Search（bt，x）实际是遍历操作Traverse（bt）的特例，关于二叉树的遍历操作的实现，将在下一节中重点介绍。
6.3 二叉树的遍历—二叉树的遍历方法及递归实现
遍历是二叉树中经常要用到的一种操作。因为在实际应用问题中，常常需要按一定顺序对二叉树中的每个结点逐个进行访问，查找具有某一特点的结点，然后对这些满足条件的结点进行处理。
由二叉树的定义可知，一棵由根结点、根结点的左子树和根结点的右子树三部分组成。
因此，只要依次遍历这三部分，就可以遍历整个二叉树。若以D、L、R 分别表示访问根结点、遍历根结点的左子树、遍历根结点的右子树，则二叉树的遍历方式有六种：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL 和RLD。如果限定先左后右，则只有前三种方式，即DLR（称为先序遍历）、LDR（称为中序遍历）和LRD（称为后序遍历）。
1．先序遍历（DLR）
先序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。否则，
（2）先序遍历根结点的左子树；
（3）先序遍历根结点的右子树。
先序遍历二叉树的递归算法如下：
void PreOrder（BiTree bt）
{/*先序遍历二叉树bt*/
if (bt==NULL) return; /*递归调用的结束条件*/
Visite（bt->data）; /*访问结点的数据域*/
PreOrder（bt->lchild）; /*先序递归遍历bt 的左子树*/
PreOrder（bt->rchild）; /*先序递归遍历bt 的右子树*/
}
算法6.5
对于图6 图6.3(b)所示的二叉树，按先序遍历所得到的结点序列为：A B D G C E F
2．中序遍历（LDR）
（1）中序遍历根结点的左子树；
（2）访问根结点；
（3）中序遍历根结点的右子树。
中序遍历二叉树的递归算法如下：
void InOrder（BiTree bt）
{/*中序遍历二叉树bt*/
if (bt==NULL) return; /*递归调用的结束条件*/
InOrder（bt->lchild）; /*中序递归遍历bt 的左子树*/
Visite（bt->data）; /*访问结点的数据域*/
InOrder（bt->rchild）; /*中序递归遍历bt 的右子树*/
}
算法6.6
对于图6.3(b)所示的二叉树，按中序遍历所得到的结点序列为：D G B A E C F
3．后序遍历（LRD）
后序遍历的递归过程为：若二叉树为空，遍历结束。否则，
（1）后序遍历根结点的左子树；
（2）后序遍历根结点的右子树。
（3）访问根结点；
后序遍历二叉树的递归算法如下：
void PostOrder（BiTree bt）
{/*后序遍历二叉树bt*/
if (bt==NULL) return; /*递归调用的结束条件*/
PostOrder（bt->lchild）; /*后序递归遍历bt 的左子树*/
PostOrder（bt->rchild）; /*后序递归遍历bt 的右子树*/
Visite（bt->data）; /*访问结点的数据域*/
}
算法6.7
对于图图6.3(b)所示的二叉树，按先序遍历所得到的结点序列为：G D B E F C A
4．层次遍历
下面讨论层次遍历的算法。
由层次遍历的定义可以推知，在进行层次遍历时，对一层结点访问完后，再按照它们的访问次序对各个结点的左孩子和右孩子顺序访问，这样一层一层进行，先遇到的结点先访问，这与队列的操作原则比较吻合。因此，在进行层次遍历时，可设置一个队列结构，遍历从二叉树的根结点开始，首先将根结点指针入队列，然后从对头取出一个元素，每取一个元素，执行下面两个操作：
（1）访问该元素所指结点；
（2）若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将该元素所指结点的左孩子指针和右孩子指针顺序入队。
此过程不断进行，当队列为空时，二叉树的层次遍历结束。在下面的层次遍历算法中，二叉树以二叉链表存放，一维数组Queue[MAXNODE]用以实现队列，变量front 和rear 分别表示当前对首元素和队尾元素在数组中的位置。
void LevelOrder（BiTree bt）
/*层次遍历二叉树bt*/
{ BiTree Queue[MAXNODE];
int front,rear;
if (bt==NULL) return;
front=-1;
rear=0;
queue[rear]=bt;
while(front!=rear)
{front++;
Visite(queue[front]->data); /*访问队首结点的数据域*/
if (queue[front]->lchild!=NULL) /*将队首结点的左孩子结点入队列*/
{ rear++;
queue[rear]=queue[front]->lchild;
}
if (queue[front]->rchild!=NULL) /*将队首结点的右孩子结点入队列*/
{ rear++;
queue[rear]=queue[front]->rchild;
}
}
}
算法6.8
6.3 二叉树的遍历—二叉树遍历的非递归实现
6.3 二叉树的遍历—由遍历序列恢复二叉树
6.3 二叉树的遍历—不用栈的二叉树遍历的非递归方法
6.4 线索二叉树—线索二叉树的定义及结构
6.4 线索二叉树—线索二叉树的基本操作实现
6.5 二叉树的应用—二叉树遍历的应用
6.5 二叉树的应用—最优二叉树(哈夫曼树)