欧拉图的判定和求法

 做一道Catenyms伤神无数，为避免此情况再次发生，在此将欧拉图的判定和求法加以总结

注：本篇文章系菜鸟总结，大神们请自行忽略。
欧拉图的判定：

1.首先，所有结点必须在同一个图中。——-》采用并查集判定

2.对于具有欧拉回路的图：所有结点的入度和出度都相等，奇数度的结点个数为0——–》统计判定

3.对于具有欧拉通路的图：图中一个结点的入度比出度大1，一个结点的入度比出度小1，其余结点入度和出度相同。奇数度结点的个数为2—–》统计判定

所有不满足以上条件的图都不是欧拉图。

欧拉图的求法：

1.Fleury算法：（下面这段话来自离散课本）

（1）任取v₀∈V(G)，令P₀=v₀.　　

（2）设Pi=v₀e₁v₁e₂…e_iv_i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e₁,e₂,…,e_i}中选取e_i+1：　　　　

（a）e_i+1与v_i相关联；　　　　

（b）除非无别的边可供行遍，否则e_i+1不应该为G_i=G-{e₁,e₂,…,e_i}中的桥。　　

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

这个可能实现起来比较麻烦，因为还需要判断边是否是桥。

这个有兴趣的话可以去http://wenku.baidu.com/view/c32d8f49e45c3b3567ec8b40.html看看，要两个财富点。。穷人下不起

2.套圈法：（下面这段话来自黑书）

欧拉回路：标记1为待查找状态古城Euler(i)寻找开始于定点i并且结束与i的欧拉回路，具体步骤如下：

(1)寻找从i出发的环P1P2…Px(P1=Px=i)

(2)标记顶点P1→x为待查找状态。

(3)对所有处于待查找状态的结点Pj递归调用Euler(Pj)

将Pj找到的环Q1Q2…Qy插入到P1P2…Px中得到欧拉回路P1P2…PjQ2…QyPj+1…Px

如果是求欧拉通路，预处理时找到度数为奇数的两个结点x和y以及一条从x到y的边P1P2…Pk(x=P1;y=Pk)，并初始化p[1]=k,p[i]=Pi(1<=i<=k)

这个算法的事件复杂度为O(m)

伪代码讲解：

Euler(int i,int id)

{

如果点i还有出路未使用

{

找到该出路的目标结点j,该出路的边的编号k

标记该出路已使用

Euler(j,k);

}

if (id!=-1) ans[top++]=该出路

}

以此图说明：

首先找到A的出路1，然后到达结点C

找到C的唯一可用出路2，到达A

找到A中可用出路3，到达B

找到B的唯一可用出路4，回到A。

回溯时会依次将欧拉路4321存在ans数组里，即得到答案。

 

3.dfs法，来自YY

 

44 bool dfs(int st,int cnt)

45 {

46 int i;

47 if(cnt==n)

48 return 1;

49 for(i=0;i&lt;n;i++)

50 {

51     if(edge[i].st&lt;st||used[i])

52                                 continue;

53          else if(edge[i].st&gt;st)

54                                  return false;

55     used[i]=true;

56     edge_order[cnt]=i;

57     if(dfs(edge[i].en,cnt+1))

58                               return 1;

59     used[i]=false;//回溯判断是否形成欧拉路径

60 }

^?

这个很好理解吧，就是深度搜索，直到找到欧拉回路为止，算法复杂度比套圈什么的要高一些。推荐套圈。